三角形的四心

∴BO=CO ∵∠EAO=∠DAC ∴△AEO∽△ADC

事實上，三角形有五心，但旁心並不常用。因此常被稱為四心。

三角形的五心

三角形的五心是指三角形的重心、外心、內心、垂心、旁心。等邊三角形的四心重合，旁心不與其他四心重合。

一、三角形的重心

三角形的重心是三角形三條中線的交點。

三角形的三條中線必交於一點

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O，連結並延長BO，交AC於點E。

三角形的三條中線必交於一點

求證：AE=CE
證明：延長OE到點G，使OG=OB
∵OG=OB,∴點O是BG的中點 又∵點D是BC的中點∴OD是△BGC的一條中位線 ∴AD∥CG
∵點O是BG的中點，點F是AB的中點 ∴OF是△BGA的一條中位線　∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG,∴四邊形AOCG是平行四邊形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性質

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。
6.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心) 。

三角形的三條垂直平分線必交於一點

三角形的三條垂直平分線必交於一點

已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分線DO,EO相交於點O
求證：O點在BC的垂直平分線上
證明：連結AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O點在BC的垂直平分線上三角形的外心的性質

1.三角形三條邊的垂直平分線的交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心.
2三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。
3.銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6.S△ABC=abc/4R

三、三角形的內心

三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點(或內切圓的圓心)。

三角形的三條角平分線必交於一點

己知：在△ABC中，∠A與∠B的角平分線交於點O，連線OC
求證：OC平分∠ACB
證明：過O點作OD,OE,OF分別垂直於AC,BC,AB,垂足分別為D,E,F
∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF
∴O在∠ACB角平分線上 ∴CO平分∠ACB

三角形的內心的性質

1.三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心
2.三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r
3.r=2S/(a+b+c)
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑)

四、三角形的垂心

三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用H表示)。三角形的三條高必交於一點

已知：△ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點O，連線CO並延長交AB於點F

三角形的三條高必交於一點

求證：CF⊥AB
證明：連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，
∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圓周角相等）
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°
∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB三角形的垂心的性質

1.銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心
3. 垂心O關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上
4.△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。
7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。
9.設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。
11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。
12.西姆松(Simson)定理（西姆松線）
從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上

五、三角形的旁心

三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交於一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心。
旁心常常與內心聯繫在一起，旁心還與三角形的半周長關係密切，三角形有三個旁心。

三角形旁心的性質

1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點A就是△BCD的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

六、歐拉線

非等邊三角形的外心、重心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。其中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

歐拉線的證法1

作△ABC的外接圓，連結並延長BO，交外接圓於點D。連結AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設AM交OH於點G’
∵ BD是直徑
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH
∴ 四邊形ADCH是平行四邊形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中點，O是BD的中點
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G與G’重合
∴ O、G、H三點在同一條直線上
如果使用向量,證明過程可以極大的簡化,運用向量中的坐標法,分別求出O G H三點的坐標即可.

歐拉線的證法2

設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。連線AG並延長交BC於D, 則可知D為BC中點。

連線OD ，又因為O為外心，所以OD⊥BC。連線AH並延長交BC於E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由於G為重心，則GA:GD=2:1。
連線CG並延長交BA於F,則可知F為AB中點。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
連線FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又連線AG並延長，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點共線。歐拉線的證法3

設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心.
則向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，
向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三點共線