三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。
2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數，即其重心坐標為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心為起點，以三角形三定點為終點的三條向量之和等於零向量。
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、計算外心的坐標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點的距離相等
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點O，連線CO並延長交AB於點F ，求證：CF⊥AB
證明：
連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。
內心的性質：
1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC內心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊於N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI^2=R^2-2Rr．
6、（內角平分線分三邊長度關係）
△ABC中，0為內心，∠A 、∠B、 ∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB於Q、P、R， 則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、內心到三角形三邊距離相等。
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質：
1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。
有關三角形五心的詩歌
三角形五心歌（重外垂內旁）
三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明了，
重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點．
此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵．
垂 心
三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清.
內 心
三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做“內心”有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”，如此定義理當然．
五心性質別記混，做起題來真是好。
