簡介
《數學是什麼》北京大學繼出版《人文社會科學是什麼》叢書後推出這套《自然科學是什麼》叢書，深入淺出地介紹了自然科學領域的知識，為大、中學生展示了一個五彩繽紛的自然科學世界。相信這套書的出版會對提高中華民族的科學素養、普及自然科學知識起重大的推動作用。本書為該系列之一的《數學是什麼》分冊。
作者簡介
胡作玄，1936年生，1957年北京大學畢業，1964年調至中國科學院數學研究所，1980年轉至中國科學院系統科學研究所，現任研究員。主要研究方向為數學，科學史，思想史。著有《20世紀數學思想》（1999）、《近代數學史》（2006）、《大有可為的數學》（2006）、《影響世界歷史的100名著排行榜》（2004、2005）等。譯著有《羅素自傳》（2002）、《化學簡史》（1979）、《數學概觀》（2001）等，另有各方面論文近百篇。
目錄
導言數學是什麼？
0.1數學與哲學
0.2數學與科學
0.3數學與藝術
一數
1.1自然數的難題
1.2初等數論及其問題
1.3高斯的啟發
1.4數列中的問題
1.5自然數的加法表示
小結
二量
2.1自然數的有理擴張
2.2從離散到連續
2.3第二次劃分
小結
三圖
3.1初等圖論
3.2圖論三大問題
3.3拉姆齊理論
小結
四形
4.1幾何學是什麼
4.2歐幾里得幾何學
4.3非歐幾何學
4.4解析幾何學
4.5豐富多彩的直觀幾何對象
小結
五算
5.1從算術到代數
5.2算術：從有限到無窮
5.3從代數到分析
5.4從多項式到一般函式
5.5函式
小結
六集合
6.1無窮
6.2從素樸集合論到公理集合論
6.3病態的集合
小結
七邏輯
7.1數學基礎
7.2幾何學基礎和公理理論
7.3希爾伯特計畫
7.4哥德爾不完全性定理
小結
八結構
8.1多頭的數學家——布爾巴基
8.2布爾巴基的思想
8.3域
8.4群
小結
九空間
9.1空間概念的演化
9.2維數
9.3流形
9.4什麼是拓撲學
9.5龐加萊猜想
小結
十機率
10.1賭場產生的問題
10.2機率的哲學本質
10.3布朗運動
10.4隨機分析
小結
十一數學大廈
11.1經典數學
11.2現代數學
11.3後現代數學
小結
十二理解數學
12.1基礎教育中的數學
12.2數學家的工作
12.3偉大的數學家創造偉大的數學
小結
結束語數學是什麼！
閱讀書目
後記
《自然科學是什麼》叢書出版後記
所體現的特點
第一，對於任何一門科學的正確概念，都不能從有關這門科學的片斷知識中形成，儘管這些片斷知識足夠廣泛。還需要對這門科學的整體有正確的觀點，需要了解這門科學的本質。本章的目的就是給出關於數學的本質的一般概念。為了這個目的，沒有很大必要去詳細考察新的數學理論，因為這門科學的歷史和初等數學就已經提供了足夠的根據來作出一般的結論。甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地察覺到數學的這些特徵，第一是它的抽性，第二是精確性，或者更好地說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的套用的極端廣泛。
抽象性在簡單的計算中就已經表現出來，我們運用抽象的數字，卻並不打算每次都把它們同具體的對象聯繫起來，我們在學校中學的是抽象的乘法表一總是數字的乘法表，而不是男孩的數再乘上蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢等等。
同樣的在幾何中研究的，例如，是直線，而不是拉緊了的繩子，並且在幾何線的概念中捨棄了所有性質，只留下在一定方向上的伸長。總之，關於幾何圖形的概念是捨棄了現實對象的所有性質只留下其空間形式和大小的結果。全部數學都具有這種抽象的特徵。關於整數的概念和關於幾和圖形的概念)--這只是一些最原始的數學概念，之後才是其他許多達到象複數、函式、積分、微分、泛函、n維甚至無限維空間等等這樣抽象程度的概念。這些概念的抽象化好象是一個高於一個，一直高到這樣的抽象程度，以致看上去已經失去了同生活的一切聯繫。以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以外什麼也不能理解。事實上情形當然不是這樣。雖說幾維空間的概念的確非常抽象，但它卻有完全現實的內容，要了解這內容並不那么困難。在這本書里將要特彆強調和解釋上面列舉的那些抽象概念的現實意義，並且使讀者相信這些概念全都是既從它們自身的起源方面也從實際套用方面同生活聯繫著的。
不過，抽象並不是數學獨有的屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性。因此，單是數學概念的抽象性還不能說盡數學的特點。數學在它的抽象方面的特點還在於：第一，在數學的抽象中首先保留量的關係和空間形式而捨棄了其他一切。第二，數學的抽象是經過一系列階段而產生的；它們達到的抽象程度大大超過了自然科學中一般的抽象。我們將以數學的基本概念：數與形為例來詳細解釋這兩點：最後一這也是惹人注意的棗數學本身幾乎完全周鏇於抽象概念和它們的相互關係的圈子之中。如果自然科學家為了證明自己的論斷常常求助於實驗，那末數學家證明定理只需用推理和計算。
當然，數學家們為了發現自己的定理和方法也常常利用模型，物理的類比，注意許多單個的十分具體的實例等等。所有這些都是理論的現實來源，有助於發現理論的定理，但是每個定理最終地在數學中成立只有當它已從邏輯的推論上嚴格地被證明了的時候。如果一個幾何學家報告一條他所發現的新定理時，只限於在模型上把它表示出來，那么任何一個數學家都不會承認這條定理是被證明了。對於證明一個定理的要求從中學的幾何課程中就可以很好地了解到了，這種要求貫穿在全部數學中。我們可以極精確地測量成千個等腰三角形的底角，但這並不能給我們以關於等腰三角形兩底角相等的定理的數學證明。數學要求從幾何的基本概念推導出這個結果)現在在幾何的嚴格敘述中基本概念的性質是精確地表述在公理中)，並且總是這樣的：證明一個定理對於數學家來說就是要從這個定理中引用的那些概念所固有的原始性質出發，用推理的方法導出這個定理。這樣看來，不僅數學的概念是抽象的、思辨的，而且數學的方法也是抽象的、思辨的。數學結論本身的特點具有根大的邏輯嚴格性。數學推理的進行具有這樣的精密性，這種推理對於每個只要懂得它的人來說，都是無可爭辯和確定無疑的。數學證明的這種精密性和確定性人們從中等學校的課程中就已很好地懂得了。數學真理本身也是完全不容爭辯的。難怪人們常說：“像二乘二等於四那樣的證明”。這裡，數學關係式2×2=4正是取作不可反駁、無可爭辯的範例。
但是數學的嚴格性不是絕對的，它在發展著；數學的原則不是一勞永逸地僵立不動了，而是變化著的並且也可能成為甚至已經成為科學爭論的對象。歸根到底，數學的生命力的源泉在於它的概念和結論儘管極為抽象，但卻如我們所堅信的那樣，它們是從現實中來的，並且在其他科學中，在技術中，在全部生活實踐中都有廣泛的套用；這一點，對於了解數學是最主要的。數學套用得非常廣泛也是它的特點之一。第一，我們經常地、幾乎每時每刻地在生產中、在日常生活中、在社會生活中運用著最普通的數學概念和結論，甚至並不意識到這一點。例如，我們計算日子或開支時就套用了算術，而計算住宅的面積時就運用了幾何學的結論，當然，這些結論都是十分簡單的，不過，記起這一點是有益的：在古代某個時候，這些結論曾經是當時正在萌芽中的數學的一些很高的成就。
第二，如果沒有數學，全部現代技術都是不可能的。離開或多或少複雜的計算，也許任何一點技術的改進都不能有；在新的技術部門的發展上數學起著十分重要的作用。最後，幾乎所有科學部門都多多少少很實質地利用著數學。“精確科學”—力學、天文學、物理學、以及在很大的程度上的化學一通常都是以一些公式來表述自己的定律)這是每個從中學畢業人都早已懂得的)，都在發展自己的理論時廣泛地運用了數學工具。沒有數學，這些科學的進步簡直是不可能的。因此，力學、天文學和物理學對數學的需要恰好也總是在數學的發展上起了直接的、決定性的作用。
在其他科學中數學起著較小的作用。但是就在這些領域中，它也有重要的套用。當然，在研究像生物現象和社會現象那樣複雜的現象時，數學方法本質上不能起像在物理學中所能起的那樣的作用，數學的套用總是只有與具體現象的深刻理論相結合才有意義，在這些現象的研究中尤其如此，記住這一點是很重要的，這樣才不致迷惑於毫無實在內容的公式遊戲。但是無論如何，數學幾乎在所有科學中，從力學到政治經濟學，都有著這樣那樣的套用。我們來回憶幾個在精確科學和技術中特別出色的數學套用的例子。
太陽系最遠的行星之一的海王星是在年在數學計算的基礎上被發現的。天文學家阿達姆斯和勒未累分析了天王星的運動的不規律性，得出結論說：這種不規律性是由其他行星的引力而發生的。勒未累根據力學法則和引力法則計算出這顆行星應該位於何處，他把這結果告訴了觀察員，而觀察員果然從望遠鏡中在勒未累所指出的位置上看到了這顆星。這個發現不僅是力學和天文學特別是哥白尼體系的勝利，而且也是數學計算的勝利。另一個同樣令人信服的例子是電磁波的發現。英國物理學家麥克斯威爾概括了由實驗建立起來的電磁現象規律，把這些規律表述為方程的形式。他用純粹數學的方法從這些方程推導出可能存在著電磁波並且這種電磁波應該以光速傳播著。根據這一點，他提出了光的電磁理論，這理論以後被全面地發展和論證了。但是，除此以外，麥克斯威爾的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波，例如，由振動放電所發射的電磁波。這樣的電磁波果然被赫茲所發現。而不久之後，波波夫就找到了電磁振盪的激發、傳送和接收的辦法，並把這些辦法帶到許多套用部門，從而為全部無線電技術奠下基礎。在己成為公共財富的無線電的發現中，純粹數學推論的結果也起了巨大的作用。
科學就是這樣從觀察，比如觀察到由電流而引起磁針偏轉，進入概括，進入現象的理論，進入規律的提出以及它們的數學表達式。新的結論從這些規律中產生，而最後，理論又體現在實踐中，實踐也給予理論以向前發展的新的強有力的動力。特別值得注意的是，沒有從自然科學或技術方面來的直接推動，而僅從數學本身內部產生的最抽象的數學體系，甚至也有極有價值的套用。例如，虛數在代數中出現了，在很長一段時間中它們的實在意義卻沒有被理解，這一情況可以從它們的名稱中看出。但是以後，就在本世紀初對它們給予了幾何的解釋，從而虛數在數學中完全站住了，並且建立了復變數)就是x+y√-1形式的變數)函式的廣泛理論。這種所謂“虛”變數的“虛”函式的理論完全不是虛假的，而是解決許多技術問題的很現實的工具。比如，茹可夫斯基關於機翼上升力的基本定理正好就是以這個理論作為工具來證明的。又如，就是這個理論在解決堤壩滲水問題時也顯示了它的用處，至於這個問題的意義在巨大的水電站建設時代是很顯然的。
非歐幾里得幾何是另一個同樣光輝的例子。它是從歐幾里得時代起的幾千年來人們想要證明平行公理的企圖中，也就是說，從一個只有純粹數學趣味的問題中產生的。羅巴切夫斯基創立了這門新的幾何學，他自己謹慎地稱之為“想像的”，因為還不能指出它的現實意義，雖然他相信是會找到這種現實意義的。他的幾何學的許多結論對大多數人來說非但不是“想像的”，而且簡直是不可想像和荒涎的。可是無論如何羅巴切夫斯基的思想為幾何學的新發展以及各種不同的非歐幾里得空間的理論的建立打下了基礎；後來這些思想成為廣義相對論的基礎之一，並且四維空間非歐幾里得幾何的一種形式成了廣義相對論的數學工具。於是，至少看來是不可理解的抽象數學體系成了一個最重要的物理理論發展的有力工具。同樣地，在原子現象的近代理論中，在所謂量子力學中，實際上都運用著許多高度抽象的數學概念和理論，比如，無限維空間的概念等等。
不必陷於例子的列舉；我們已經足夠地強調了數學在日常生活實踐中，在技術中，在科學中都有最廣泛的套用，並且只從數學本身內部生長起來的理論在精確科學和許多技術問題中也有其套用。除了數學的抽象性、嚴格性和它的結論的確定性以外，數學的另一個特徵便是如此。2、注意了所有這些數學的特點，我們當然還沒有闡明數學的本質，毋寧說只是指出了數學的外表特徵。問題在於要解釋這些特點。為此至少應該回答下列問題：
科普讀物（十二）
| 科普讀物就是與科學技術普及有關的書籍。這類讀物的特點一是要善於把複雜的科學理論用最簡明的語言加以說明，使一般讀者能夠大體明白其中的道理，做到深入淺出；二是所介紹的科學知識一定要準確無誤，不能給讀者留下含混不清的概念，更不能使讀者得到錯誤的知識；三是它以介紹當代科學新成就為主要任務。 |
