梅森數形如2^p－1的正整數，其中p是素數，稱作梅森數，常記為Mp。若Mp是素數，則稱為梅森素數。是否有無窮多個梅森素數是數論中未解決的難題之一。
梅森素數的由來
馬林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物。他與大科學家伽利略、笛卡爾、費馬、帕斯卡、羅伯瓦、邁多治等是密友。雖然梅森致力於宗教，但他卻是科學的熱心擁護者，在教會中為了保衛科學事業做了很多工作。他捍衛笛卡兒的哲學思想，反對來自教會的批評；也翻譯過伽里略的一些著作，並捍衛了他的理論；他曾建議用單擺來作為時計以測量物體沿斜面滾下所需時間，從而使惠更斯發明了鐘擺式時鐘。
梅森對科學所作的主要貢獻是他起了一個極不平常的思想通道作用。17世紀時，科學刊物和國際會議等還遠遠沒有出現，甚至連科學研究機構都沒有創立，交往廣泛、熱情誠摯和德高望眾的梅森就成了歐洲科學家之間的聯繫的橋樑。許多科學家都樂於將成果寄給他，然後再由他轉告給更多的人。因此，他被人們譽為“有定期學術刊物之前的科學信息交換站”。梅森和巴黎數學家笛卡兒、費馬、羅伯瓦、邁多治等曾每周一次在梅森住所聚會，輪流討論數學、物理等問題，這種民間學術組織被譽為“梅森學院”，它就是法蘭西學院的前身。
1640年6月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我相信它們將成為今後解決素數問題的基礎”。這封信討論了形如2^P－1的數（其中p為素數）。早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得就開創了研究2^P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數時指出：如果2^P－1是素數，則(2^p－1)2^(p－1)是完美數。
梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2^P－1作了大量的計算、驗證工作，並於1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對於p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，2P－1是素數；而對於其他所有小於257的數時，2^P－1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬於被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而後面的4個數（即31，67，127和257）屬於被猜測的部分。不過，人們對其斷言仍深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。
雖然梅森的斷言中包含著若干錯誤（後文詳述），但他的工作極大地激發了人們研究2^P－1型素數的熱情，使其擺脫作為“完美數”的附庸的地位。可以說，梅森的工作是素數研究的一個轉折點和里程碑。由於梅森學識淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統而深入地研究2^P－1型的數，為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”；並以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2^P－1型素數）。
梅森素數貌似簡單，而研究難度卻很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進行艱巨的計算。即使屬於“猜測”部分中最小的M^31=2^31－1=2147483647，也具有10位數。可以想像，它的證明是十分艱巨的。正如梅森推測：“一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的。”是啊，枯燥、冗長、單調、刻板的運算會耗盡一個人的畢生精力，誰願讓生命的風帆永遠在黑暗中顛簸！人們多么想知道梅森猜測的根據和方法啊，然而年邁力衰的他來不及留下記載，四年之後就去世了；人們的希望與梅森的生命一起泯滅在流逝的時光之中。看來，偉人的“猜測”只有等待後來的偉人來解決了。
探索歷程
梅森素數就像數學海洋中的一顆璀璨明珠，吸引著一代又一代的研究者去探尋。自梅森提出其斷言後，人們發現的已知最大素數幾乎都是梅森素數；因此，尋找新的梅森素數的歷程也就幾乎等同於尋找新的最大素數的歷程。而梅森斷言為素數而未被證實的幾個Mp當然首先成為人們研究的對象。
1772年，瑞士數學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了M31是一個素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人讚嘆不已，他因此獲得了“數學英雄”的美譽。這是尋找已知最大素數的先聲。歐拉還證明了歐幾里得關於完美數的定理的逆定理，即：每個偶完美數都具有形式2P－1（2P－1），其中2P－1是素數。這就使得偶完美數完全成了梅森素數的“副產品”了。歐拉的艱辛給人們提示：在偉人難以突破的困惑面前要想確定更大的梅森素數，只有另闢蹊徑了。
100年後，法國數學家魯卡斯提出了一個用來判別Mp是否是素數的重要定理——魯卡斯定理。魯卡斯的工作為梅森素數的研究提供了有力的工具。1883年，數學家波佛辛利用魯卡斯定理證明了M61也是素數——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個素數：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數學家鮑爾斯發現。
1903年，在美國數學學會的大會上，數學家柯爾作了一個一言不發的報告，他在黑板上先算出2^67－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個結果相同。這時全場觀眾站了起來為他熱烈鼓掌，這在美國數學學會開會的歷史上是絕無僅有的一次。他第一個否定了“M67為素數”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論。這短短几分鐘的報告卻花了柯爾3年的全部星期天。1922年，數學家克萊契克進一步驗證了M257並不是素數，而是合數（但他沒有給出這一合數的因子，直到20世紀80年代人們才知道它有3個素因子）。
1930年，美國數學家雷默改進了魯卡斯的工作，給出了一個針對Mp的新的素性測試方法，即魯卡斯-雷默方法：Mp＞3是素數的充分必要條件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。這一方法直到今天的“計算機時代”仍發揮重要作用。
"手算筆錄時代”，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而計算機的產生使尋找梅森素數的研究者如虎添翼。1952年，數學家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成電腦程式，使用SWAC型計算機在短短几小時之內，就找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其後，M3217在1957年被黎塞爾證明是素數；M4253和M4423在1961年被赫維茲證明是素數。1963年，美國數學家吉里斯證明M9689和M9941是素數。1963年9月6日晚上8點，當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，以第一時間發布了這一重要訊息；發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，以致於把所有從系裡發出的信件都敲上了“211213－1是個素數”的郵戳。
1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節目播放，發布了塔可曼使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數M19937的訊息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構（包括我國的新華社）都報導了以下訊息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計算機找到了第25個梅森素數：M21701。
2008年8月23日，加州大學洛杉磯分校的電腦發現第四十五已知梅森素數，2^43,112,609-1，一個龐大的12,978,189位數字！這個素數獲得資格，由EFF的十萬美元獎金髮現第一個千萬位數的素數。祝賀埃德森史密斯，負責安裝和維護該GIMPS軟體在加州大學洛杉磯分校數學系的計算機。僅僅相隔兩個星期，2008年9月6日，第46個梅森素數，2^37,156,667-1，11,185,272位數，由Hans-MichaelElvenich發現，在Langenfeld，德國科隆附近！這是自Colquitt和Welsh在1988年發現2^110,503-1以來首次梅森素數不按順序被發現。
隨著素數P值的增大，每一個梅森素數MP的產生都艱辛無比；而各國科學家及業餘研究者們仍樂此不疲，激烈競爭。1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數M23209時，人們告訴他們：在兩個星期前諾爾已得到這一結果。為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月的時間，使用CRAY-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。這個記錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。之後，這位計算機專家乘勝前進，使用經過改進的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到了3個梅森素數：M86243、M132049和M216091。但他未能確定M86243和M216091之間是否有異於M132049的梅森素數。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速並行計算機果然捕捉到了一條“漏網之魚”——M110503。沉寂4年之後，1992年3月25日，英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數M756839。1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現“已知最大素數”的桂冠——這一素數是M859433。而下一個梅森素數M1257787仍是他們的成果。這一素數是使用CRAY-794超級計算機在1996年取得的。史洛溫斯基由於發現7個梅森素數，而被人們譽為“素數大王”。
使用超級計算機尋找梅森素數的遊戲實在太昂貴了。格線(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探尋如虎添翼。1996年初，美國數學家和程式設計師喬治· 沃特曼編制了一個梅森素數計算程式，並把它放在網頁上供數學家和數學愛好者免費使用，這就是著名的“網際網路梅森素數大搜尋”（GIMPS)項目。該項目採取格線計算方式，利用大量普通計算機的閒置時間來獲得相當於超級計算機的運算能力。1997年美國數學家及程式設計師斯科特·庫爾沃斯基和其他人建立了”素數網”（PrimeNet），使分配搜尋區間和向GIMPS傳送報告自動化。現在只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程式，就可以立即參加該項目來搜尋新的梅森素數。
為了激勵人們尋找梅森素數和促進格線技術發展，設在美國的電子新領域基金會(EFF)於1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找新的更大的梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。其實，絕大多數研究者參與該項目並不是為了金錢，而是出於樂趣、榮譽感和探索精神。
2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校計算機專家埃德森·史密斯發現了第45個梅森素數“2的43112609次方減1”，該素數有12978189位，它是目前已知的最大素數。如果用普通字號將這個巨數連續寫下來，其長度可超過50公里！史密斯是第一個發現超過1000萬位的梅森素數的人，他獲得了EFF頒發的10萬美元大獎。年底這一重大發現被著名的美國《時代》周刊評為“2008年度50項最佳發明”之一。
14年來，人們通過GIMPS項目找到了13個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前世界上已有170多個國家和地區近18萬人參加了這一項目，並動用了37萬多台計算機聯網來進行格線計算，以尋找新的梅森素數。該項目的計算能力已超過當今世界上任何一台最先進的超級矢量計算機的計算能力，運算速度超過每秒400萬億次。
時至今日止，人們已經發現了47個梅森素數，並且確定M20996011位於梅森素數序列中的第40位。現把它們列表如下：
序號 梅森素數 位數 發現時間
1 M2 1 公元前300
2 M3 1 公元前300
3 M5 2 公元前100
4 M7 3 公元前100
5 M13 4 15世紀中葉
6 M17 6 1603
7 M19 6 1603
8 M31 10 1772
9 M61 19 1883
10 M89 27 1911
11 M107 33 1914
12 M127 39 1876
13 M521 157 1952
14 M607 183 1952
15 M1279 386 1952
16 M2203 664 1952
17 M2281 687 1952
18 M3217 969 1957
19 M4253 1281 1961
20 M4423 1332 1961
21 M9689 2917 1963
22 M9941 2993 1963
23 M11213 3376 1963
24 M19937 6002 1971
25 M21701 6533 1978
26 M23209 6987 1979
27 M44497 13395 1979
28 M86293 25962 1983
29 M110503 33265 1988
30 M132049 39751 1983
31 M216091 65050 1985
32 M756839 227832 1992
33 M859433 258716 1995
34 M1257787 378632 1996
35 M1398269 420921 1996
36 M2976221 895933 1997
37 M3021377 909526 1998
38 M6972593 2098960 1999
39 M13466917 4053946 2001
40 M20996011 6320430 2003
41? M24036583 7235733 2004
42? M25964951 7816230 2005
43? M30402457 9152052 2006
44? M32582657 9808358 2007
45? M43112609 12978189 2008
46? M37156667 11185272 2008
47? M42643801 12837064 2009
由上表可見，梅森素數的分布極不規則。我們甚至可以看到，連找到梅森素數的時間分布都極不規則，有時許多年未能找到一個，而有時則一下找到好幾個。探索梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的摸索中，提出了一些猜想。英國數學家香克斯、美國數學家吉里斯、法國數學家托洛塔和德國數學家伯利哈特就曾分別給出過關於梅森素數分布的猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表達式給出；而它們與實際情況的接近程度均未盡如人意。中國數學家及語言學家周海中經過多年的研究，於1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便；後來這一科研成果被國際上命名為“周氏猜測”。著名的《科學》雜誌上有一篇評論文章指出，這是梅森素數研究中的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。中科院院士、著名數學家張景中也對這一猜測評價很高。著名科學家愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。”周氏猜測的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。
梅森素數的意義
梅森素數歷來都是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。自古希臘時代直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎只是為了尋找完美數。但自梅森提出其著名斷言以來，特別是歐拉證明了歐幾里得關於完美數的定理的逆定理以來，完美數已僅僅是梅森素數的一種“副產品”了。
尋找梅森素數在現代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數是發現已知最大素數的最有效的途徑，自歐拉證明M31為當時最大的素數以來，在發現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數在推動計算機功能改進方面發揮了獨特作用。發現梅森素數不僅僅需要高功能的計算機，它還需要素數判別和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程式設計技術等等，因而它還推動了數學皇后——數論的發展，促進了計算數學、程式設計技術等的發展。
由於尋找梅森素數需要多種學科的支持，也由於發現新的“最大素數”所引起的國際影響使得對於梅森素數的研究能力已在某種意義上標誌著一個國家的科學技術水平，而不僅僅是代表數學的研究水平。從各國各種傳媒（而不僅僅是學術刊物）爭相報導新的梅森素數的發現，我們也可清楚地看到這一點。
梅森素數在實用領域也有用武之地。現在人們已將大素數用於現代密碼設計領域。其原理是：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。
尋找梅森素數最新的意義是：它促進了分散式計算技術的發展。從最新的13個梅森素數是在網際網路項目中發現這一事實，我們已可以想像到網路的威力。分散式計算技術使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能；這是一個前景非常廣闊的領域。它的探究還推動了快速傅立葉變換的套用。
在當代梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：它的研究成果，一定程度上反映了一國的科技水平。英國頂尖科學家、牛津大學教授馬科斯·索托伊甚至認為它是人類智力發展在數學上的一種標誌,也是科學發展的里程碑之一。
可以相信，梅森素數這顆數學海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。
最後，有必要指出的是：素數有無窮多個，這一點早為歐幾里得發現並證得。然而，梅森素數是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數學難題；而揭開這一未解之謎，正是科學追求的目標。讓我們以數學大師希爾伯特的名言來結束本文：“我們必須知道，我們必將知道。”
