定義
設f(x_1,...,x_n) 是定義在數域 k 上的函式， 我們把方程 f=0 在數域 k 中的解稱作f (在k中)的零點. 所有零點構成的集合稱作零點集。
設f_1,...f_s是定義在數域k上的一組函式, 那么方程組f_1=...=f_s=0在數域 k 中的公共解稱作它們的公共零點.
所有公共零點構成的集合稱作公共零點集。
代數定義
設f_1,...f_s是係數定義在域k上的一組多項式， 那么方程組f_1=...=f_s=0在域 k 中公共解稱作它們的公共零點，
如果k是代數閉域， 那么上述方程組的公共零點集也稱做（仿射）代數簇. 如果f_i都是齊次方程, 那么公共零點集也稱射影代數簇。 代數幾何就是要研究代數簇的幾何結構與方程的代數結構（即理想）之間的深刻聯繫--這也是傳統解析幾何的推廣和發展。
例子
1. 黎曼zeta函式(ζ-函式)：ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...1/n^s+...解析延拓到整個複平面上有很多零點， 其中一些容易求出，稱作平凡零點；其餘的零點稱作非平凡零點。 黎曼猜測非平凡零點都落在實部為1/2的直線上--即著名的黎曼假設（也稱黎曼猜想）。
2. 單變數多項式f(x)=a_nx^n+...a_1x+a_0(這裡a_i是複數)對應的方程f(x)=0的零點就是我們常說的方程的根（在複數域上）。
高斯代數學基本定理： n次多項式方程的零點恰好有n個（允許重根）。
阿貝爾定理: 5次及5次以上的多項式方程的零點不存在一般的求根公式。
伽羅華理論: 多項式方程有求根公式若且唯若它的伽羅華群是可解的。
3. 初等數論的不定方程f(x,y)=0, 這裡f是定義在有理數域Q上的二元多項式。 通常要求它的有理數解（這樣的零點稱作有理點）或整數解（稱作整點或格點）或者剩餘類解（即有限域上的零點）。比如
佩爾方程： x^2-dy^2=1, 求整數解(x,y)
勾股方程: X^2+Y^2=Z^2 求整數解(X,Y,Z) (這也等價於求單位圓x^2+y^2=1上的有理數解)
二次剩餘（也稱平方剩餘）: x^2-py=q求整數解(x,y) (等價於求剩餘類方程x^2≡q(mod p)的剩餘類解)。此方程有解的判定涉及著名的高斯二次互反律。
費馬方程: X^n+Y^n=Z^n (n>2)求整數解(X,Y,Z), 要求XYZ≠0 . 費馬曾猜測該不定方程無解--即著名的費馬大定理， 由外爾斯與1994年獲證--其中用到了橢圓曲線的性質。
零點集性質
1. （全純函式零點定理）單變數復全純函式的零點集是離散的。 換言之， 如果全純函式的一組零點收斂於定義域中的某個點， 那么該函式恆為0.
該定理的等價描述就是所謂的全純函式剛性定理： 兩個全純函式如果在一組收斂點列上取值相同，那么它們必定處處相等。 剛性定理是複變函數中的解析延拓定理的基礎。
2. 儒歇定理： 假設兩個全純函式在邊界上恆有|f|<|g|, 那么在該邊界所圍的區域內g和g+f的零點個數相同（允許重根）
3. 輻角原理： 全純函式f(z)當z繞邊界鏇轉一周時像點f(z)所繞的圈數等於零點個數減去極點個數（允許重根）
4. 希爾伯特零點定理： 代數閉域k上的多項式方程組f_1=...=f_s=0無公共零點（即零點集為空集）若且唯若存在多項式a_1,...,a_s使得a_1f_1+...+a_sf_s=1.
零點集與理想
這裡考慮多項式方程組f_1=...=f_s=0。
我們把所有如下形式的多項式構成的集合稱作由f_1,...f_s生成的理想， 記作I=〈f_1,...f_s〉：
a_1f_1+...+a_sf_s, 這裡a_i是任何多項式.
顯然理想中的任何多項式元素都在公共零點集上取值為零。換言之， 我們在原方程組中添入理想中的若干多項式方程，並不影響方程的零點集。
無限個方程組 f_1=...=f_s=...=0也可以類似定義理想I=〈f_1,...f_s，...〉
希爾伯特基定理： 上述理想一定是有限生成的, 也就是說我們可以挑出有限個元素，f_{i1}, f_{i2},...f_{ik}使得
〈 f_{i1},...,f_{ik} 〉 =〈f_1,...f_s，...〉
這就是說無限方程組的求解總是可以化成有限個方程組的求解。
