橢圓曲線[代數曲線]

橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線。對於特徵不等於2的域，它的仿射方程可以寫成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。複數域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面。Mordell證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群，這是著名的BSD猜想的前提條件。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣。

定義

橢圓曲線[代數曲線]

橢圓曲線[代數曲線]

橢圓曲線[代數曲線]

橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線，它的(仿射)方程，通常稱為維爾斯特拉斯方程，可以寫成
如果這個域的特徵不等於2和3，則可以改寫成或

作為實曲面看，複數域上的橢圓曲線就是帶有一個洞的閉曲面--環面。環面可以通過同向粘合正方形的兩對對邊得到，其拓撲虧格為1。

橢圓曲線和橢圓函式，橢圓積分等內容密切相關。 著名的費馬大定理的證明也與此有關。

總之，橢圓曲線是代數幾何中最重要的一類研究對象。

群結構

橢圓曲線上的點全體構成一個加法群， 點與點之間的“加法”運算，如圖所示。 正因為橢圓曲線存在加法結構，所以它包含了很多重要的數論信息。橢圓曲線和它的雅可比簇是同構的，所以它上面的“加法”結構實際上來自於它的雅可比簇的自然加法結構。

橢圓曲線上的有理點的個數也是人們關心的重要問題，這個問題和著名的Mordell-Weil定理有關。Mordell-Weil定理是說：橢圓曲線上有理點構成的群是有限生成的。另一方面，橢圓曲線上的整點只有有限多個，這個定理被稱為Siegel定理。

橢圓曲線[代數曲線]

通過以下實例，可以更好的理解上述兩個定理：橢圓曲線上，僅有16個整點:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661)，以及它們關於x軸的對稱點，而其上所有的有理點可以由(-2,3),(2,5)通過群上的加法生成。

更一般地，整體域上的橢圓曲線的點總構成有限生成交換群。

相交理論

Bezout定理告訴我們， 兩條光滑橢圓曲線相交於9個點（切點重複計算）。 進一步，如果有第三條光滑橢圓曲線經過其中的8個交點，那它必定經過第九個點。這是古典代數幾何中的一個重要的結論。歐拉對此問題也有過考慮。

作為推廣，X.諾特（Noether）曾經得到了更一般的代數曲線交點的類似結論。 這個問題和代數曲面上秩2向量叢的半穩定性有著深刻的內在聯繫。 談勝利利用秩2向量叢的Bogomolov不等式， 將此問題推廣到最一般的情形。

退化情形

由於橢圓曲線在射影平面中是三次曲線，所以它可以退化為許多特殊的情形：

（1）三條直線；（2）一條直線和一條二次曲線（即圓錐曲線，比如橢圓，雙曲線，拋物線）。

將這些退化情形放到上述的結論中， 我們就得到了許多著名的射影幾何中的定理，如帕斯卡定理等等。

模性

模性是指整體域上橢圓曲線的L函式等於某一個自守形式的L函式，這是Langlands綱領的一部分。Wiles在其1995年重要工作中證明了有理數域上的半穩定橢圓曲線是模的，並由此推出了費馬大定理。

之後Breuil, Conrad, Diamond, Taylor去掉了半穩定限制。

Drinfeld，Deligne，Zarhin等人證明了函式域上的模性。