概念闡述
概念定義
因式分解因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地套用於初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的套用，是解決許多數學問題的有力工具。
因式分解方法靈活，技巧性強。學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高綜合分析和解決問題的能力。
相關結論
基本結論：分解因式與整式乘法為相反。
高級結論：在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。
1）因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，國中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2）所有的三次和三次以上的一元多項式在實數範圍內都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在複數範圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解。也可以用待定係數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。(這是因為，由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。並且還有一條定理：實係數多項式的虛數根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘，可以得到二次的實係數因式，從而這條結論也就成立了。)
3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反覆利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。
4）因式分解是很困難的，國中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。
分解公式
平方差公式
(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
十字相乘法公式
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
平方和立方差公式
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
其他平方公式
a²+b²=（a+b）²-2ab
或=(a-b)²+2ab
a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ac)
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
解題方法
十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公因式分解沒有普遍適用 的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
注意四原則：
1．分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最後結果只有小括弧
3．最後結果中多項式首項係數為正（例如：-3x2+x=x（-3x+1））不一定首項一定為正，如-2x-3xy-4xz=-x（2+3y+4z）
歸納方法：
1．提公因式法。
2．運用公式法。
3．拼湊法。
提取公因式法
因式分解各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括弧內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。
口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
注意：把變成不叫提公因式
公式法
如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用於分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
分解公式：
1、平方差公式： 即兩個數的平方差，等於這兩個數的和與這兩個數的差的積。
2、完全平方公式： 、即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等於這兩個數的和（或差）的平方。
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍。
口訣：首平方，尾平方，積的二倍放中央。同號加、異號減，符號添在異號前。
（1） 即三數和的平方，等於這三個數的平方和加上每兩項的積的2倍。
（2） 即四數和的平方，等於這四個數的平方和加上每兩數的積的2倍。即幾個數的和的平方，等於這幾個數的平方和加上每兩數的積的2倍。
3、立方和公式：
即兩數之和，乘它們的平方和與它們的積的差，等於這兩個數的立方和。
推廣：三項立方和公式
即三數之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等於這三個數的立方和減三數之積的三倍。
4、立方差公式：
即兩數之差，乘它們的平方和與它們的積的和，等於這兩個數的立方差。
5、完全立方公式：
即兩數之和（差）的立方等於這兩個數的立方和（差）與每一個數的平方乘以另一個數3倍的和（和與差）。
6、兩根式：
例：a2+4ab+4b2=（a+2b）2
解方程法
通過解方程來進行因式分解，如：
X2+2X+1=0,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）
十字相乘法
對於x2+px+q型的式子如果q能分解為分解為數a,b的積，且有a + b = p時（即a與b和是一次項的係數），那么x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）；或對於kx2+mx+n型的式子如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。這種分解因式的方法叫做十字相乘法。
註：與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法
具體方法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。
口訣：分二次項，分常數項，交叉相乘求和得一次項。（拆兩頭，湊中間）
特點：
（1）二次項係數是1；
（2）常數項是兩個數的乘積；
（3）一次項係數是常數項的兩因數的和。
基本步驟：
（1）把二次項係數和常數項分別分解因數;
（2）嘗試十字圖，使經過十字交叉線相乘後所得的數的和為一次項係數;
（3）確定合適的十字圖並寫出因式分解的結果;
（4）檢驗。
例1：把6x2 +13x + 6分解因式
解：
∴原式=（2x+3）（3x+2）
例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式
解：
∴原式=3m（m2-m-20）=3m（m-5Xm+4）
雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。
雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y為未知數，其餘都是常數
用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可
x2y 2
x3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。
④縱向相乘，橫向相加。
分組分解法
分組分解是分解因式的一種簡潔的方法，下面是這個方法的詳細講解。能分組分解的多項式有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a（x+y）+b（x+y）
=（a+b）（x+y）
我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）
幾道例題：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）
說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。
2． x2-x-y2-y
解法：=（x2-y2）-（x+y）
=（x+y）（x-y）-（x+y）
=（x+y）（x-y-1）
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然後相合解決。
三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2
=a^2-（b+c）^2
=（a-b-c）（a+b+c）
拆添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)
換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意：換元後勿忘還元。
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)
綜合除法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……，xn，則該多項式可分解為f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，
則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖像與X軸的交點x1,x2,x3,……xn，則多項式可因式分解為f(x)=f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。
主元法
例如在分解x3+2x2-5x-6時，可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2
則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3+9x2+23x+15時，令x=2，則
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7．
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，
則x3+9x2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。
待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母係數，求出字母係數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
因式定理
對於多項式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、對於係數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數
2．對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數
二次多項式
（根與係數關係二次多項式因式分解）
例：對於二次多項式aX2+bX+c(a≠0)
當△=b2-4ac≥0時，設aX2+bX+c=0的解為X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).
實際套用
1．套用於多項式除法。
：a(b−1)(ab+2b+a)
說明：(ab+b)2−(a+b)2=(ab+b+a+b)(ab+b−a−b)=(ab+2b+a)(ab−a)=a(b−1)(ab+2b+a)．
2．套用於高次方程的求根。
3．套用於分式的通分與約分
順帶一提，梅森合數分解已經取得一些微不足道的進展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素數，則：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）
例如：
23|(211-1);；11=4×2+3
47|(223-1);；23=4×5+3
167|(283-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2n×32+1,，則（6p+1）|(2P-1)，
例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1
439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1
3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3，p=2n×3m×5s-1,則（8p+1）|（2P-1）
例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1
1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
注意事項
因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括弧裡面分到“底”。現舉下例可供參考例1把－a²－b²+2ab+4分解因式。解：－a²－b²+2ab+4=－（a²－2ab+b²－4）=－[(a-b)²－4]=－（a－b+2）（a－b－2）這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x²+4y²=（－3x）²－（2y）²=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤
例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1）
這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1。
分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”，不留“尾巴”，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=2y（4x4－5x2－9）=2y（2x+1）（4x2－9）的錯誤。
在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數！
由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等是一脈相承的。
