1.簡介
定義
Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。其中：
1、調和平均數：
2、幾何平均數：
3、算術平均數：
4、平方平均數（均方根）：
一般形式
設函式（當r不等於0時）；（當r=0時）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形。
特例
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當n=2時，上式即：
若且唯若時，等號成立。
根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，中學常用，即。
記憶
調幾算方，即調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數。均值不等式的
變形
(1)對實數a,b，有a^2+b^2≥2ab(若且唯若a=b時取“=”號)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)對實數a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)對非負數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)對非負數a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab
(7)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)對實數a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
證明
均值不等式的證明方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設A≥0，B≥0，則(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
註：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A＋B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。
當n＝2時易證；
假設當n＝k時命題成立，即
((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。那么當n＝k＋1時，不妨設a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，則
ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
設s＝a1＋a2＋…＋ak，
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理
＝(s／k)^k*a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。用歸納假設
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函式f(x)，x1,x2,...xn是函式f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，
則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函式
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明（半徑不小於半弦）
均值不等式的套用
例一證明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)
證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二長方形的面積為p，求周長的最小值
解：設長,寬分別為a,b，則a*b=p
因為a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周長最小值為4√p
例三長方形的周長為p，求面積的最大值
解：設長,寬分別為a,b，則2(a+b)=p
因為a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面積最大值是p^2/16
2.其他不等式
琴生不等式（具有凹凸性）
絕對值不等式
權方和不等式
赫爾德不等式
閔可夫斯基不等式
貝努利不等式
柯西不等式
切比雪夫不等式
外森比克不等式
排序不等式
