簡介
歸納1、【include;sum up】：歸入;加入
如：無不以歸納共和為福利
2、【conclude】：歸併;收攏
如：這是從大量事實中歸納出來的結論
3、【induction】：【邏輯】從部分到整體,從特殊到一般,從個別到普遍的推理
數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然後再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的．類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法。
4、歸納是由特殊推到一般，是科學實驗的指導方法。在教育實驗中，常用歸納法進行對照實驗和循環實驗的實驗設計。歸納法是為指出普遍性特徵，進行經驗材料整理的認識方法，也是提出假設和假說的方法。
引證解釋
1、歸還。宋歐陽修《與宋龍圖書》：“先假通錄，謹先歸納，煩聒豈勝惶悚。”宋蘇軾《與鄭靖老書》之二：“向不知公所存，又不敢帶行，封作一籠寄邁處，令訪尋歸納。”
2、歸入；加入。
宋秦觀《鮮于子駿行狀》：“東州平衍，兗、鄆、單、濟、曹、濮諸河，其所歸納，惟梁山、張澤兩濼。”曹亞伯《武昌日知會之運動》：“漸次軍學兩界之有心革命者，均歸納於高家巷日知會。”張謇《致內閣書》：“今為滿計，為漢計，為蒙、藏、回計，無不以歸納共和為福利。”
3、歸併；收攏。
洪深《戲的念詞與詩的朗誦》六（二）：“這裡儘可能的簡單化，歸納為容易把握容易記住容易實踐的六件事。”葉紫《楊七公公過年》：“然後再把一年中辛辛苦苦的結果：－－百十捆稻草都歸納起來，統統堆到小船上面。”
4、邏輯學術語。一種由許多具體事實概括出一般原理的推理方法，與“演繹”法相對。
胡適《清代學者的治學方法》：“舉例作證是歸納的方法。”秦牧《藝海拾貝·惠能和尚的偈語》：“把這些事情歸納起來，很可以看出其中是有不少道理的。”
類比
歸納運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：
可見，運用類比法的關鍵是尋找一個合適的類比對象．按尋找類比對象的角度不同，類比法常分為以下三個類型。（1）降維類比
將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此種類比方法即為降維類比。【例1】如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面交點。求證：++為定值。
分析考慮平面上的類似命題：“過△ABC（底）邊AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC於A1、B1，求證+為定值”。這一命題利用相似三角形性質很容易推出其為定值1。另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1。於是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1。
證明：如圖，設平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV。得
++=++。
在底面△ABC中，由於AM、BN、CL交於一點O，用面積法易證得：
++=1。
∴++=1。
【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球，S是所作六個球的交集．證明S中沒有一對點的距離大於。
【分析】考慮平面上的類比命題：“邊長為1的正三角形，以各邊為直徑作圓，S‘是所作三個圓的交集”，通過探索S’的類似性質，以尋求本題的論證思路．如圖，易知S‘包含於以正三角形重心為圓心，以為半徑的圓內．因此S’內任意兩點的距離不大於．以此方法即可獲得解本題的思路。
證明：如圖，正四面體ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，G為△BCD的中心，MN∩AG＝O．顯然O是正四面體ABCD的中心。易知OG=·AG=，並且可以推得以O為球心、OG為半徑的球內任意兩點間的距離不大於，其球O必包含S。現證明如下：
根據對稱性，不妨考察空間區域四面體OMCG。設P為四面體OMCG內任一點，且P不在球O內，現證P亦不在S內。
若球O交OC於T點。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。由余弦定理：
TN2=ON2+ot2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在Rt△AGD中，N是AD的中點，∴GN=。由GN=NT＝，OG＝OT，ON=ON，得△GON≌△TON。∴∠TON＝∠GON，且均為鈍角。
於是顯然在△GOC內，不屬於球O的任何點P，均有∠PON>∠TON，即有PN>TN=，P點在N為球心，AD為直徑的球外，P點不屬於區域S。
由此可見，球O包含六個球的交集S，即S中不存在兩點，使其距離大於。
（2）結構類比
某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑藉結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決。
【例3】任給7個實數xk（k=1，2，…，7）．證明其中有兩個數xi，xj，滿足不等式0≤≤·
【分析】若任給7個實數中有某兩個相等，結論顯然成立。若7個實數互不相等，則難以下手。但仔細觀察可發現：與兩角差的正切公式在結構上極為相似，故可選後者為類比物，並通過適當的代換將其轉化為類比問題。作代換：xk=tgαk（k＝l，2，…，7），證明必存在αi，αj，滿足不等式0≤tg(αi-αj)≤·
證明：令xk=tgαk（k＝l，2，…，7），αk∈（-，），則原命題轉化為：證明存在兩個實數αi，αj∈（-，），滿足0≤tg(αi-αj)≤·
由抽屜原則知，αk中必有4個在【0，）中或在（-，0）中，不妨設有4個在【0，）中．注意到tg0＝0，tg=，而在【0，）內，tgx是增函式，故只需證明存在αi，αj，使0<αi-αj<即可。為此將【0，）分成三個小區間：【0，】、（，】、（，）。又由抽屜原則知，4個αk中至少有2個比如αi，αj同屬於某一區間，不妨設αi>αj，則0≤αi-αj≤，故0≤tg(αi-αj)≤·這樣，與相應的xi=tgαi、xj=tgαj，便有0≤≤·
（3）簡化類比
簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法。比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等。
【例4】已知xi≥0（i＝1，2，…，n），且xl+x2+…+xn=1。
求證：1≤++…+≤．
【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2=1，求證1≤+≤”。本類比題的證明思路為：∵2≤xl+x2＝l，∴0≤2≤1，則1≤xl+x2+2≤2，即1≤(+)2≤2，∴1≤+≤．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法．這正是要尋找的證明原命題的思路和方法。
證明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，則
0≤2≤(n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn+2≤n，即1≤(++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
數學定義
所謂歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式．它由推理的前提和結論兩部分構成：前提是若干已知的個別事實，是個別或特殊的判斷、陳述，結論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷．其思維模式是：設Mi（i＝1，2，…，n）是要研究對象M的特例或子集，若Mi（i＝1，2，…，n）具有性質P，則由此猜想M也可能具有性質P。如果＝M，這時的歸納法稱為完全歸納法．由於它窮盡了被研究對象的一切特例，因而結論是正確可靠的．完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法。
如果是M的真子集，這時的歸納法稱為不完全歸納法．由於不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對象，得出的結論只能算猜想，結論的正確與否有待進一步證明或舉反例。
本節主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想，對於完全歸納法，將在以後結合有關內容（如分類法）進行講解。
【例5】證明：任何面積等於1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小於4十。
【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起：先考慮面積為1的正方形，其周長恰為4，對角錢之和為2即．其次考察面積為1的菱形，若兩對角線長記為l1、l2，那么菱形面積S=l1·l2，知
l1+l2≥2=2=，菱形周長：l＝4≥2=4。
由此，可以猜想：對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮。
【證明】設ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形，其有關線段及角標如圖。則
SABCD=(eg+gf+fh+he)sinα
≤(e+f)(g+h)≤，
∴e+f+g+h≥2，即對角線長度之和不小於。
∴a＋b＋c＋d≥4，即周長不小於4．
綜上所述，結論得證，
【例6】在一直線上從左到右依次排列著1988個點P1，P2，…，P1988，且Pk是線段Pk-1Pk+1的k等分點中最靠近Pk+1的那個點（2≤k≤1988），P1P2=1，
P1987P1988=l．求證：2l<3-1984。
【分析】本題初看複雜，難以入手．不妨先從特殊值出發，通過特殊值的計算，以便分析、歸納出一般性的規律。
當k=1時，P1P2=1（已知）；當k=2時，P2是P1P3的中點，故P2P3=P1P2=1；當k=3時，P3是P2P4的三等分點中最靠近的那個分點，即P3P4=P2P4=(P2P3+P3P4)=P2P3+P3P4，故P3P4=P2P3=①
由此可推得4P5=×②，P5P6=××③
由①、②、③，可歸納以下猜想：
PkPk+1=Pk-1Pk。
【證明】
於是有：
令k=1987，則有
故2l<3-1984。
邏輯學名詞
概念
歸納和演繹是人類認識最早、運用最為廣泛的思維方法。它所涉及的是個別與一般的關係，是事物和概念之間的外部關係。所謂歸納，是指從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結論的思維方法。歸納可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是前提包含該類對象的全體，從而對該類對象作出一般性結論的方法。不完全歸納法又稱簡單枚舉歸納法，是通過觀察和研究，發現某類事物中固有的某種屬性，並且不斷重複而沒遇到相反的事例，從而判斷出所有該類對象都有這一屬性的推理方法，數學上的窮舉法就是完全歸結法。簡單枚舉歸納法的結論帶有或然性，可能為真，也可能為假。在實踐中，人們總是跟一個個具體的事物打交道，首先獲得這些個別事物的知識，然後在這些特殊性知識的基礎上，概括出同類事物的普遍性知識。比如，人們從巨觀世界萬物都可分為若干層次，微觀世界的原子可再分為基本粒子以至夸克等等事實，得出“物質是無限可分的”的一般原理。這個認識過程就包含著歸納推理。歸納和演繹
歸納和演繹反映了人們認識事物兩條方向相反的思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，後者是從一般到個別的思維運動。歸納和演繹是形式邏輯和辯證邏輯共有的思維方法，是辯證思維的起點。所不同的是，形式邏輯把歸納和演繹看作是各自獨立、相互平行的兩種邏輯的證明工具和推理規則，割裂了歸納和演繹的辯證關係，並且，形式邏輯拋開事物的具體內容和矛盾，只注重歸納和演繹的形式，因而總是從不變的前提出發，按照固定的線路，推出僵硬的結論。與形式邏輯相反，辯證邏輯強調歸納和演繹是既相互區別，又相互聯繫的兩種思維方法，是概念、理論形成過程不可分割的兩個側面。
▲首先，歸納與演繹相互聯繫，互為條件。一方面，沒有歸納就沒有演繹，歸納是演繹的基礎，為演繹提供前提。演繹要從一般推導出個別，作為演繹出發點的一般原則，往往是先由歸納得出來的。例如，生物遺傳的基因學說，就是歸納了大量生物實驗事實得出來的。又如，在前面我們所舉過的例子，“人皆有死”作為演繹推理的前提，是從社會實踐中歸納得出的結論。另一方面，沒有演繹也沒有歸納，演繹為歸納提供指導。歸納要從個別概括出一般，作為對實際材料進行歸納的指導思想，往往又是某種演繹的結果。●例如，達爾文把大量觀察、實驗材料進行歸納，得出“生物進化”這個結論；但他在得出“生物進化”這個結論之前，早就接受了拉馬克等人的有關生物進化的思想和賴爾的地質演化思想，這些思想實際上構成了他歸納經驗材料的指導原則，因為有了這些思想，達爾文的考察、歸納才顯得有目的性和選擇性。
▲其次，歸納和演繹相互補充、相互轉化。這是由於，在思維運動中，二者雖然都有重要作用，但各自也都存在一定的局限性：歸納法只是對現存的有限的經驗材料進行概括，因而不僅不能保證歸納結論的普適性，而且難以區分事物的本質屬性與非本質屬性，這就使得歸納推理的結論可能為真，也可能為假。演繹法從一般原則出發思考問題，但它無法保證自己的前提即由以出發的一般原則本身是否正確無誤。因此，歸納與演繹必須在相互轉化過程中，彌補各自的缺陷。歸納之後，需要通過演繹將歸納所得的一般結論推廣到未知的事實上，並用這些事實來檢驗一般結論的正確與否；演繹之後，又要將演繹所得的個別結論與事實相比較，並通過新的歸納來檢驗、修正、充實原有的演繹前提。歸納和演繹只有在如此周而復始的相互轉化過程中，才能彌補各自的缺陷，充分發揮其在探索真理過程中的方法論作用。
