證明方法
證明幾何不等式的方法大致有三種:幾何方法,代數方法,三角方法。
幾何方法:通過一些變化或者平移旋轉來證明。
代數方法:也就是方程。
三角方法(函式法):利用三角函式來證明。
類型
Ptolemy(托勒密)不等式
若ABCD為四邊形,則AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等號成立ÛA,B,C,D四點共圓
證明:
在任意四邊形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
因為△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因為BE+ED≥BD
僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時,等號成立,即“托勒密定理”)
所以命題得證
Erdos(埃爾多斯)不等式
設P是ΔABC內任意一點,P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r,記PA=x,PB=y,PC=z。則
x+y+z≥2*(p+q+r)
證明:
設P是ΔABC內任意一點,P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r,記PA=x,PB=y,PC=z。則
x+y+z≥2*(p+q+r)
證法二 因為P,E,A,F四點共圓,PA為直徑,則有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中,據餘弦定理得:
EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2,
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB,即
PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2),
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命題成立。
Weitzenberk(外森比克)不等式
若a,b,c為三角形三邊長,S是三角形面積,
則:a^2+b^2+c^2≥(4√3)S
等號成立若且唯若ABC為等邊三角形。
定理證明如下: 由海倫公式,三角形面積可表示為:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
則:4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
由於三角形任意兩邊之和大於第三邊,所以根號里各項都是正數,
由均值不等式可得:
4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(ca)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
即:4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得
a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。
若且唯若a=b且c=π/3即三角形ABC為正三角形時取等。
Euler(歐拉)不等式
設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r,則R≥2r,若且唯若△ABC為正三角形時取等號。
證明:
由歐拉定理,d=sqrt(R(R-2r)),又d>0,
所以R-2r≥0,即R≥2r.
若且唯若d=0即內心與外心重合時取等。
此時三角形ABC為正三角形。
Fermat(費馬)問題
在△ABC中,使PA+PB+PC為最小的平面上的P點稱為費馬點。當每個內角均小於120時,則與三邊張角為120的P點為費馬點。
等周定理(等周不等式)
①周長一定的所有圖形中,圓的面積最大;面積一定的所有圖形中,圓的周長最小。
②周長一定的所有n邊形中,正n邊形的面積最大;面積一定的所有n邊形中,正n邊形的周長最小。