幾何不等式

幾何問題中出現的不等式稱為幾何不等式。常常表現為角的大小,線段的長短,面積的多少等. 在幾何不等式的證明中,將綜合運用到我們所學的很多知識,但最首要的是要注意運用幾何中基本的不等關係和一些重要定理.證明不等式,視其論證過程中,以運用何種知識為主,大致分為三種方法:幾何方法;三角方法;代數方法。

證明方法

證明幾何不等式的方法大致有三種:幾何方法,代數方法,三角方法。

幾何方法:通過一些變化或者平移旋轉來證明。

代數方法:也就是方程。

三角方法(函式法):利用三角函式來證明。

類型

Ptolemy(托勒密)不等式

若ABCD為四邊形,則AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等號成立ÛA,B,C,D四點共圓

證明:

在任意四邊形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因為△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而∠BAC=∠DAE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因為BE+ED≥BD

僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時,等號成立,即“托勒密定理”)

所以命題得證

Erdos(埃爾多斯)不等式

設P是ΔABC內任意一點,P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r,記PA=x,PB=y,PC=z。則

x+y+z≥2*(p+q+r)

證明:

設P是ΔABC內任意一點,P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r,記PA=x,PB=y,PC=z。則

x+y+z≥2*(p+q+r)

證法二 因為P,E,A,F四點共圓,PA為直徑,則有:EF=PA*sinA。

在ΔPEF中,據餘弦定理得:

EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)

=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2,

所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB,即

PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。

同理可得:

PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2),

PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。

(1)+(2)+(3)得:

x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命題成立。

Weitzenberk(外森比克)不等式

若a,b,c為三角形三邊長,S是三角形面積,

則:a^2+b^2+c^2≥(4√3)S

等號成立若且唯若ABC為等邊三角形。

定理證明如下: 由海倫公式,三角形面積可表示為:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2

則:4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

由於三角形任意兩邊之和大於第三邊,所以根號里各項都是正數,

由均值不等式可得:

4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}

=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(ca)^2]/(3√3)

≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

即:4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

整理得

a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。

若且唯若a=b且c=π/3即三角形ABC為正三角形時取等。

Euler(歐拉)不等式

設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r,則R≥2r,若且唯若△ABC為正三角形時取等號。

證明:

由歐拉定理,d=sqrt(R(R-2r)),又d>0,

所以R-2r≥0,即R≥2r.

若且唯若d=0即內心與外心重合時取等。

此時三角形ABC為正三角形。

Fermat(費馬)問題

在△ABC中,使PA+PB+PC為最小的平面上的P點稱為費馬點。當每個內角均小於120時,則與三邊張角為120的P點為費馬點。

等周定理(等周不等式)

①周長一定的所有圖形中,圓的面積最大;面積一定的所有圖形中,圓的周長最小。

②周長一定的所有n邊形中,正n邊形的面積最大;面積一定的所有n邊形中,正n邊形的周長最小。

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