簡介
《九章算術》
《九章算術》根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補。最後成書最遲在東漢前期，但是其基本內容在東漢後期已經基本定型。《漢書藝文志》(班固根據劉歆《七略》寫成者)中著錄的數學書僅有《許商算術》、《杜忠算術》兩種，並無《九章算術》，可見《九章算術》的出現要晚於《七略》。《後漢書馬援傳》載其侄孫馬續“博覽群書，善《九章算術》”，馬續是公元1世紀最後二、三十年時人。再根據《九章算術》中可供判定年代的官名、地名等來推斷，現傳本《九章算術》的成書年代大約是在公元1世紀的下半葉。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。
後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學，許多人曾為它作過注釋。其中最著名的有劉徽(263)、李淳風(656)等人。劉、李等人的注釋和《九章算術》一起流傳至今。唐宋兩代，《九章算術》都由國家明令規定為教科書。到了北宋，《九章算術》還曾由政府進行過刊刻(1084)，這是世界上最早的印刷本數學書。在現傳本《九章算術》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，現藏於上海圖書館(孤本，殘，只余前五卷)。清代戴震由《永樂大典》中抄出《九章算術》全書，並作了校勘。此後的《四庫全書》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的《算經十書》本(1773)等，大多數都是以戴校本為底本的。
作為一部世界科學名著，《九章算術》在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本。現在，它已被譯成日、俄、德、法等多種文字。
主要內容
《九章算術》的內容十分豐富，全書採用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯繫的套用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術。這些問題依照性質和解法分別隸屬於方田、粟米、衰（音崔cui）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。
《九章算術》共收有246個數學問題，分為九章、它們的主要內容分別是：
第一章“方田”：田畝面積計算；提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分數的通分、約分和加減乘除四則運算的完整法則。後者比歐洲早1400多年。
第二章“粟米”：穀物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術；
第三章“衰分”：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程式與現今程式基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了中國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。
第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；
勾股定理求解第五章“商功”：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；
第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其套用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、複比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以後才形成類似的全套方法。
第七章“盈不足”：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處於世界領先地位的成果，傳到西方後，影響極大。
第八章“方程”：一次方程組問題；採用分離係數的方法表示線性方程組，相當於現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數，並提出了正負術——正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就，第一次突破了正數的範圍，擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。提出了勾股數問題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到3世紀的丟番圖才取得相近的結果，這已比《九章算術》晚約3個世紀了。勾股章還有些內容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最後一題給出的一組公式，在國外到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出。
主要特點
《九章算術》確定了中國古代數學的框架，
《九章算術》然而，《九章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年(263年)，劉徽給《九章算術》作注，才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是中國數學家之一。他的生平現在知之甚少。據考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數學理論方面成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關係。又如他把正負數定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關係。
《九章算術》的算法儘管抽象，但相互關係不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關係，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為今有術求解。
一平面(或立體)圖形經過平移或鏇轉，其面積(或體積)不變。把一個平面(或立體)圖形分解成若干部分，各部分面積(或體積)之和與原圖形面積(或體積)相等。基於這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。
數學成就
《九章算術》《九章算術方程》章共18問，全都是一次方程組問題，未知數最多時可達五個。其解法，首先以豎行用算籌列出各方程的係數，如“方程”章第一題，它相當於求解：
3x+2+=39，(1)
2x+3+=34，(2)
x+2+3=26。(3)
列出的籌式如
123
232
311
263439，
豎行，即相當於上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行連續相減(如以3乘再連續減即可消去x項係數)。“程”是指“計算”、“方”是指這樣列出的籌式是方形的，這才是“方程”這一數學術語的原意。《九章算術》中的這項成果，比世界其它國家和地區的同類成果要早很多年。“方程”章還在世界數學史上首次引入了負數及其加減法運算法則。
在《九章算術》中，開平方和開立方時所列籌式以及演算過程，其意義和求解x=、x=的數值解法是相同的。這樣，在開平方的過程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出發，更開宋元時期高次方程數值解法的先聲。
歷史影響
劉徽關於對《九章算術》所做的注住要有：三國時曹魏劉徽注，唐朝李淳風注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術》中80道典型的題作過詳解並分類，清李潢(？～1811年)所著《九章算術細草圖說》對《九章算術》進行了校訂、列算草、補插圖、加說明，尤其是圖文並茂之作。現代錢寶琮(1892～1974年)曾對包括《九章算術》在內的《算經十書》進行了校點，用通俗語言、近代數學術語對《九章算術》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來，今人白尚恕、郭書春、李繼閔等都有校注本出版。
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創造；“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際套用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標誌著中國古代數學體系的形成．後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。可以說，《九章算術》是中國為數學發展做出的又一傑出貢獻。
後世影響
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創造；“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際套用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標誌著中國古代數學體系的形成．後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。
所以，《九章算術》是中國為數學發展做出的一傑出貢獻。
