簡介
在抽象代數中，一個域擴張（通常記作L/K）被稱作代數擴張，若且唯若每個L的元素都是在K上代數的，即：滿足一個係數布於K的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括、。代數擴張與多項式的根
在一個代數擴張L/K中，L里的每個元素α都是某個多項式的根；這些多項式中次數最低者稱作α的最小多項式（通常要求領導係數等於一，以保證唯一性）。最小多項式總是不可約多項式。若不可約，則商環L:=K[X]/(f)是K的一個域擴張，[L:K]=deg(f)，而且變元X的象是在f在L中的一個根，其最小多項式正是f。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如不外就是複數域。
當在L中分解成一次因子的積，則稱f在L中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個夠大的代數擴張K'/K使得f分裂；K'里滿足此性質的最小子擴張稱作f的分裂域，f的任兩個分裂域至多差一個K上的同構（即：一個限制在K上為恆等映射的環同構）。
正規擴張
一個代數擴張被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：固定代數閉包，任何上的（即在上是恆等映射的）域嵌入皆有。
存在一族在上分裂的多項式，使得由它們的根與生成。
任何多項式若在里有根，則在里分裂。
可分擴張
設為代數擴張，如果的最小多項式沒有重根，則稱可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於，這可以直接在中計算）。所有可分元素形成一個域，稱作可分次數。若則稱是可分擴張。當是有限擴張時，定義不可分次數。當特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。
伽羅瓦擴張
一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張，此時將在上的自同構群記為，稱作的伽羅瓦群。就現代的觀點，伽羅瓦理論研究的乃是與的子群的對應關係，此對應可用伽羅瓦連線抽象地概括。當伽羅瓦擴張的伽羅瓦群是阿貝爾群時，此擴張稱作是阿貝爾擴張。類域論為數域與局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。
