解析函式邊界性質
正文
以複變函數論為基礎結合實變函式論研究解析函式的邊界性質,與調和函式的邊界性質有緊密的聯繫,主要研究單位圓內和一般區域內種種解析函式族的邊界性質。設函式ƒ(z)在單位圓|z|< 1內解析,記
設ƒ(z)是平面區域D內的解析函式,ζ是邊界дD上的給定點,如果當z在D內以ζ為頂點的任何角形區域內趨於ζ時,ƒ(z)都趨向於一確定值,稱ƒ(z)在邊界點ζ處有非切向極限值,記為ƒ(ζ)。如果在 дD上除一測度為零的點集外,處處有非切向極限值,稱ƒ(z)在дD上幾乎處處有非切向邊界值ƒ(ζ)。
邊界性質與域內性質 一類問題是,利用解析函式的域內性質(比如函式模在區域內的增長性)研究其邊界性質。P.J.L.法圖(1906)和F.(F.)里斯(1923)分別對p=∞和0<p<∞證明:若ƒ(z)∈Hp,則ƒ(z)幾乎處處有非切向邊界值 ƒ(eiθ),|ƒ(eiθ)|∈Lp【0,2π】,log|ƒ(eiθ)|∈l1【0,2π】除非ƒ(z)呏0,並且對【0,2π】上的任何正測度集E,
積分表示問題 單位圓|z|<1內解析函式 ƒ(z)可表示成φ∈lp【0,2π】(1≤p ≤∞)的泊松積分
構造問題 里斯在1923年證明:若



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一般區域的情形 設D是邊界多於一點的單連區域,若在D記憶體在可求長的若爾當閉曲線C1,C2,…,{Cn}趨於邊界дD,使得
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解析函式邊界性質的理論是Hp 空間理論的基礎和重要組成部分,對多復變數解析(全純)函式邊界性質的研究有深刻的影響,在奇異積分方程、解析函式的邊值問題和彈性力學及斷裂力學中都有廣泛套用。