解析函式項級數
正文
由解析函式組成的級數。在實分析中,可導函式的一致收斂級數不一定可導。例如由外爾斯特拉斯定理知道,在【α,b】上連續的任何函式可表示為一致收斂的多項式級數。在複分析中有不同的結果:一致收斂的解析函式項級數是解析函式。設ƒn(z)(n=1,2,…)是在區域D內連續的函式。如果對任何緊集K嶅D以及任何ε>0,存在著正整數N=N(K,ε),使得對n≥N及任何z∈K,
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套用柯西公式(見柯西積分定理),K.外爾斯特拉斯證明了下列定理:設ƒn(z)(n=1,2,…)在區域 D 內解析,如果
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形如
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對於這種級數有下列阿貝爾引理:設
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由這引理出發,可以證明任何冪級數
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① 存在著有限正數R;級數在圓盤|z-z0|<R內絕對收斂而且在這圓盤內任何緊集上正規收斂;當|z-z0|>R時,級數發散。這時R稱為級數的收斂半徑,|z-z0|<R稱為收斂圓盤,|z-z0|=R 稱為收斂圓周。
② 對任何z≠z0,級數發散;這時稱級數的收斂半徑為0。
③ 對任何z,級數收斂,從而在任何緊集上正規收斂;這時稱級數的收斂半徑為+∞。
由外爾斯特拉斯定理,在第一種情況下,冪級數在收斂圓盤內解析,並且可逐項求導數;在第三種情況下,冪級數表示一整函式(即在整個有限複平面解析的函式),並且可在有限複平面內逐項求導數。
在第一種情況下,冪級數在其收斂圓上的點可能收斂,也可能發散。例如
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