橢圓型偏微分方程

橢圓型偏微分方程，簡稱橢圓型方程，一類重要的偏微分方程。早在1900年D.希爾伯特提的著名的23個問題中，就有三個問題是關於橢圓型方程與變分法的。八十多年來，橢圓型方程的研究獲得了豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學、彈性力學、電磁學、幾何學和變分法中都有套用。拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。

基本信息

橢圓型偏微分方程

正文

簡稱橢圓型方程,一類重要的偏微分方程。早在1900年D.希爾伯特提的著名的23個問題中,就有三個問題(第19、20、23問題)是關於橢圓型方程與變分法的。八十多年來，橢圓型方程的研究獲得了豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學、彈性力學、電磁學、幾何學和變分法中都有套用。拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。
拉普拉斯方程　許多定常的物理過程，如穩定的熱傳導過程、牛頓引力理論及電磁理論中的位勢、彈性薄膜的平衡、不可壓流體的定常運動等，提出形如

(1)

的方程，稱之為拉普拉斯方程，以及泊松方程

(2)

式中ρ一般有密度的意義。
容易得到方程(1)和(2)的一些特解。由於方程是線性的，因此可以由已知的一些特解疊加而得到新的解。積分也是一種疊加。通過積分型疊加,便可得到方程(1)的如下的重要解：

(3)

式中S為一曲面，μ為定義在S上的連續函式。由(3)確定的函式u在S以外的地方滿足方程(1)。
非齊次方程(2)有一個重要的特解，它就是以ρ為密度的體位勢：

(4)

只要ρ在域Ω內有界且連續可微,由(4)確定的函式u在Ω內就滿足方程(2)，而在Ω外則滿足方程(1)。
在套用上，往往不是求一些特解，而是求滿足某些附加條件的解。例如，第一邊值問題（狄利克雷問題）：；第二邊值問題（諾伊曼問題）：。這裡Ω為(x,y,z)空間的一個有界域，φ為定義在邊界嬠Ω上的已知連續函式，n為嬠Ω的單位外法向量。
這些邊值問題的解的惟一性，由調和函式的一個極值性質很容易推出。拉普拉斯方程的二次連續可微解，稱為調和函式。
極值原理　域Ω內的調和函式不可能在域內一點取極大值或極小值，除非這個調和函式恆等於常數。若調和函式的最大值只在某一邊界點 p上達到，則（假設u在p點可微）。
這些邊值問題的解的存在性，也不難證明。由格林公式可以推得

　(5)

從而有

式中， 稱為拉普拉斯方程關於域Ω的格林函式。由此引出解第一邊值問題的如下方法：先求出G(ξ,η,ξ；x,y,z)，再將所給的邊界值代入，得到
(6)
只要對邊界面再加上一些限制,就可以證明由(6)確定的函式u是第一邊值問題的解。應當指出,對於某些特殊域，如球、半球、半空間等，格林函式是容易用鏡像法求得的。以球域為例，設K是以原點為中心、R為半徑的球體，關於球體K的格林函式就是

,

式中Q1是向徑OQ的延長線上的一個點,它使（如圖所示）。點Q1為點Q關於球面S=嬠K的反演點。將G(p,Q)代入(6)即得到泊松公式：

它所確定的函式 u(Q)就是拉普拉斯方程關於球域K的第一邊值問題的解。
利用泊松公式和極值原理，可以推出調和函式的一系列基本性質,如平均值公式、調和函式的解析性、哈那克定理等等。
公式(5)中出現的積分,分別稱為展布在曲面Г上密度為μ的單層位勢和雙層位勢。它們都是Ω內的調和函式。單層位勢通過邊界面是連續的，而雙層位勢在邊界面上有跳躍。因此為了使雙層位勢滿足第一邊值問題的邊界條件,必須選取μ使它滿足積分方程

，

由於這一積分方程是齊次的，除平凡解外無其他連續解，因此，按弗雷德霍姆定理,該方程對任何φ恆可解。這樣，以這個解為密度的雙層位勢便給出了第一邊值問題的解。利用單層位勢和弗雷德霍姆定理，同樣可以證明第二邊值問題的可解性。上述積分方程法雖然能統一地處理第一邊值問題和第二邊值問題，但是對域的邊界要求過嚴，如要求它是魯古諾夫曲面。
關於第一邊值問題的解的存在性論證有許多更一般，的方法,如龐加萊-佩隆方法、施瓦茲交替法、差分法等。
第一邊值問題，還可用變分法求解。古典的變分法理論指出，如果函式u=(x,y,z)適合第一邊值問題的邊界條件，且使泛函（狄利克雷積分）

　(7)

取極值,則當∈C (Ω),必滿足這一泛函的歐拉-拉格朗日方程，即是拉普拉斯方程(1)的解。這種把一泛函的極值問題歸結為解微分方程的邊值問題，是變分法早期的理論。但是這一理論只有在極少的特殊情形才是可行的。因此人們產生了與此相反的思考，用求解泛函極值問題來獲得微分方程邊值問題的解。（G.F.）B.黎曼由泛函(7)的非負性作出斷：(7)必存在極小值函式,它就是狄利克雷問題的解。這個論斷稱為狄利克雷原理。K.（T.W.）外爾斯特拉斯指出了黎曼在提出這個論斷時邏輯上的不嚴密，並舉出了有下界而無極小值的泛函的例子。多年之後，首先由希爾伯特給出了狄利克雷原理的完整無缺的證明。其他的證明也隨之相繼出現，這方面的研究極大地推動了泛函分析的發展，也使得變分法成為研究偏微分方程的強有力的工具。
二階橢圓型方程　形如

的方程，若(αij(x))為正定的矩陣,則稱為橢圓型的；若(αij(x)) 的最大特徵值與最小特徵值之比有界，則方程(8)稱為一致橢圓型的。經常考慮的是方程(8)的如下三種邊值問題;①第一邊值問題（狄利克雷問題）,其邊界條件為。②第二邊值問題(諾伊曼問題),其邊界條件為。③第三邊值問題(混合問題),其邊界條件為φ(ξ)，這裡α可在嬠Ω的部分點集上為0,v方向與補法線方向夾角小於π/2。
二階橢圓型方程的研究甚早，在50年代以前，對方程(8) 的一些基本邊值問題的可解性就獲得某些成果。在幾十年的發展中，建立了各種解法，例如，紹德爾方法、泛函方法、差分法、變分法、積分方程法，等等。
紹德爾方法是建立在紹德爾估計之上的。設 Ck α表示k次連續可微且k階微商α 赫德爾連續的函式類，又設Ω是R 中的C2 α區域，方程(8)的所有係數和自由項都屬於Cα。所謂紹德爾估計,是指若方程(8)在Ω中有解u,並且,則

式中с是一個與方程(8)和區域有關的常數。
在上述假設下,由泊松方程具有解u以及一般線性方程的極值原理,當с≤0時可以得的估計。因此利用紹德爾估計和參數的連續開拓就可以證明方程(8) 的狄利克雷問題的解的存在性。作為極值原理的一個直接推論：當с≤0時狄利克雷問題的解是惟一的。
泛函方法肇端於K.O.弗里德里希斯1934年關於對稱橢圓運算元半有界擴張的工作。H.外爾，C.Л.索伯列夫、C.Γ.米赫林和М.И.維希克等人在40年代末期的進一步研究表明，解橢圓型方程的基本邊值問題等價於解形如x＋AX＝ƒ的運算元方程,其中A是希爾伯特空間的全連續運算元。從而由泛函分析的里斯－紹德爾理論得到橢圓型方程可解性的所謂“二擇一原理”。
近幾十年來橢圓型方程的重大進展之一，是解擬線性橢圓型方程

(9)

通常用勒雷－紹德爾不動點原理。
設B是巴拿赫空間,T是從B×【0,1】到B的一個完全連續映射，對所有x∈B,使得T(x,0)=0。若存在M,使得對滿足x＝T(x,t)的所有(x,t)∈B×【0,1】,有，則T1x＝T(x,1)在B中有不動點。這就是勒雷-紹德爾不動點原理。考慮問題簇

式中Q1＝α，Qt對所有t∈【0，1】都是橢圓的。定義u＝T(υ,t)是線性狄利克雷問題

的惟一解。於是可以看出,方程(9)的狄利克雷問題的解u就是T(υ,1)的不動點。通常取B為C1 β,0<β<1。對係數加以適當限制就可使得T滿足勒雷－紹德爾原理的要求，於是方程(9)的狄利克雷問題就化為求問題簇的C1 β(捙)解的先驗估計。
高階橢圓型方程組　形如下面的方程組

(10)

，此處，對一切x∈Ω，一切ξ∈R -【0】， 是最一般線性橢圓型方程組。這個定義是И.Γ.彼得羅夫斯基給出的。
對於如此廣泛的方程組，有些人例如，L.赫爾曼德爾討論過它的一般邊值問題：

此處(x,D)是變係數的微分運算元,nj與μ之間存在著某種關係。
這樣的邊值問題，一般經典的弗雷德霍姆備擇定理不成立。維希克和L.尼倫伯格等人提出了一個子類，稱之為強橢圓組，對於它的某些基本邊值問題，弗雷德霍姆備擇定理是成立的。
近年來，研究在流形上定義的橢圓運算元的一大成就是阿蒂亞－辛格指標定理。

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