2009年考研數學大綱內容數一
高等數學
一、函式、極限、連續
考試內容
函式的概念及表示法 函式的有界性、單調性、周期性和奇偶性 複合函式、反函式、分段函式和隱函式 基本初等函式的性質及其圖形 初等函式 函式關係的建立
數列極限與函式極限的定義及其性質 函式的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關係 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限:
，
函式連續的概念 函式間斷點的類型 初等函式的連續性 閉區間上連續函式的性質
考試要求
1．理解函式的概念，掌握函式的表示法，會建立套用問題的函式關係.
2．了解函式的有界性、單調性、周期性和奇偶性．
3．理解複合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念．
4．掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念.
5．理解極限的概念，理解函式左極限與右極限的概念以及函式極限存在與左、右極限之間的關係．
6．掌握極限的性質及四則運算法則.
7．掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．
8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．
9．理解函式連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函式間斷點的類型．
10．了解連續函式的性質和初等函式的連續性，理解閉區間上連續函式的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），並會套用這些性質．
二、一元函式微分學
考試內容
導數和微分的概念 導數的幾何意義和物理意義 函式的可導性與連續性之間的關係 平面曲線的切線和法線 導數和微分的四則運算基本初等函式的導數 複合函式、反函式、隱函式以及參數方程所確定的函式的微分法 高階導數一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛必達（L’Hospital）法則 函式單調性的判別函式的極值 函式圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函式圖形的描繪 函式的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圓與曲率半徑
考試要求
1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係．
2．掌握導數的四則運算法則和複合函式的求導法則，掌握基本初等函式的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函式的微分．
3．了解高階導數的概念，會求簡單函式的高階導數．
4．會求分段函式的導數，會求隱函式和由參數方程所確定的函式以及反函式的導數.
5．理解並會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解並會用柯西(Cauchy)中值定理．
6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．
7．理解函式的極值概念，掌握用導數判斷函式的單調性和求函式極值的方法，掌握函式最大值和最小值的求法及其套用．
8．會用導數判斷函式圖形的凹凸性（註：在區間內，設函式具有二階導數。當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函式圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函式的圖形．
9．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．
三、一元函式積分學
考試內容
原函式和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 積分上限的函式及其導數 牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函式、三角函式的有理式和簡單無理函式的積分 反常（廣義）積分 定積分的套用
考試要求
1．理解原函式的概念，理解不定積分和定積分的概念．
2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．
3．會求有理函式、三角函式有理式和簡單無理函式的積分．
4．理解積分上限的函式，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式．
5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、鏇轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函式的平均值．
四、向量代數和空間解析幾何
考試內容
向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積和向量積 向量的混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數與方向餘弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件 點到平面和點到直線的距離 球面 柱面 鏇轉曲面 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投影曲線方程
考試要求
1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示.
2.掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件.
3.理解單位向量、方向數與方向餘弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.
4.掌握平面方程和直線方程及其求法.
5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，並會利用平面、直線的相互關係（平行、垂直、相交等）解決有關問題.
6．會求點到直線以及點到平面的距離.
7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.
8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和鏇轉曲面的方程.
9.了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影，並會求該投影曲線的方程.
五、多元函式微分學
考試內容
多元函式的概念 二元函式的幾何意義 二元函式的極限與連續的概念有界閉區域上多元連續函式的性質 多元函式的偏導數和全微分 全微分存在的必要條件和充分條件多元複合函式、隱函式的求導法二階偏導數 方嚮導數和梯度 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 二元函式的二階泰勒公式 多元函式的極值和條件極值 多元函式的最大值、最小值及其簡單套用
考試要求
1．理解多元函式的概念，理解二元函式的幾何意義.
2．了解二元函式的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函式的性質.
3．理解多元函式偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.
4．理解方嚮導數與梯度的概念，並掌握其計算方法.
5．掌握多元複合函式一階、二階偏導數的求法.
6．了解隱函式存在定理，會求多元隱函式的偏導數.
7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.
8．了解二元函式的二階泰勒公式.
9．理解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，了解二元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函式的最大值和最小值，並會解決一些簡單的套用問題.
六、多元函式積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和套用 兩類曲線積分的概念、性質及計算 兩類曲線積分的關係 格林（Green）公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 二元函式全微分的原函式 兩類曲面積分的概念、性質及計算兩類曲面積分的關係 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes)公式 散度、鏇度的概念及計算曲線積分和曲面積分的套用
考試要求
1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.
2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）.
3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關係.
4．掌握計算兩類曲線積分的方法.
5．掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函式全微分的原函式.
6．了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關係，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，並會用斯托克斯公式計算曲線積分.
7．了解散度與鏇度的概念，並會計算.
8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）.
七、無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂與發散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與級數及其收斂性 正項級數收斂性的判別法 交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 函式項級數的收斂域與和函式的概念 冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域 冪級數的和函式 冪級數在其收斂區間內的基本性質簡單冪級數的和函式的求法 初等函式的冪級數展開式函式的傅立葉（Fourier）係數與傅立葉級數 狄利克雷（Dirichlet）定理 函式在上的傅立葉級數 函式在上的正弦級數和餘弦級數
考試要求
1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.
2．掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件.
3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.
4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.
5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關係.
6．了解函式項級數的收斂域及和函式的概念.
7．理解冪級數收斂半徑的概念、並掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.
8．了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函式的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函式，並會由此求出某些數項級數的和.
9．了解函式展開為泰勒級數的充分必要條件.
10．掌握、、、及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函式間接展開成冪級數.
11．了解傅立葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函式展開為傅立葉級數，會將定義在上的函式展開為正弦級數與餘弦級數，會寫出傅立葉級數的和函式的表達式.
八、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念 變數可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用簡單的變數代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常係數齊次線性微分方程 高於二階的某些常係數齊次線性微分方程 簡單的二階常係數非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程 微分方程的簡單套用
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
2．掌握變數可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．
3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變數代換解某些微分方程
4．會用降階法解下列形式的微分方程：．
5．理解線性微分方程解的性質及解的結構．
6．掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性微分方程.
7．會解自由項為多項式、指數函式、正弦函式、餘弦函式以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程．
8．會解歐拉方程．
9．會用微分方程解決一些簡單的套用問題．
線性代數
一、行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質 行列式按行（列）展開定理
考試要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質．
2．會套用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式．
二、矩陣
考試內容
矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣矩陣的秩 矩陣的等價 分塊矩陣及其運算
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質．
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.
3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．
4．理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．
5．了解分塊矩陣及其運算．
三、向量
考試內容
向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關係向量空間及其相關概念維向量空間的基變換和坐標變換過渡矩陣向量的內積線性無關向量組的正交規範化方法規範正交基正交矩陣及其性質
考試要求
1．理解維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．
2．理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法．
3．理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩
4．理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關係.
5．了解維向量空間、子空間、基底、維數、坐標等概念．
6．了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣．
7．了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規範化的施密特（Schmidt）方法．
8．了解規範正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質．
四、線性方程組
考試內容:
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的基礎解系和通解解空間非齊次線性方程組的通解
考試要求
l．會用克萊姆法則．
2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．
3．理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.
4．理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念．
5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．
五、矩陣的特徵值和特徵向量
考試內容:
矩陣的特徵值和特徵向量的概念、性質相似變換、相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及其相似對角矩陣
考試要求:
1．理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣的特徵值和特徵向量.
2．理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.
3．掌握實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質．
六、二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示契約變換與契約矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標準形和規範形用正交變換和配方法化二次型為標準形二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1．掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解契約變換與契約矩陣的概念，了解二次型的標準形、規範形的概念以及慣性定理．
2．掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形．
3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，並掌握其判別法．
機率論與數理統計
一、隨機事件和機率
考試內容
隨機事件與樣本空間事件的關係與運算完備事件組機率的概念機率的基本性質古典型機率幾何型機率條件機率機率的基本公式事件的獨立性獨立重複試驗
考試要求
1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關係及運算．
2．理解機率、條件機率的概念，掌握機率的基本性質，會計算古典型機率和幾何型機率，掌握機率的加法公式、減法公式、乘法公式、全機率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．
3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行機率計算；理解獨立重複試驗的概念，掌握計算有關事件機率的方法．
二、隨機變數及其分布
考試內容
隨機變數隨機變數分布函式的概念及其性質離散型隨機變數的機率分布連續型隨機變數的機率密度常見隨機變數的分布隨機變數函式的分布
考試要求
1．理解隨機變數的概念，理解分布函式
的概念及性質，會計算與隨機變數相聯繫的事件的機率．
2．理解離散型隨機變數及其機率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其套用．
3.了解泊松定理的結論和套用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.
4．理解連續型隨機變數及其機率密度的概念，掌握均勻分布、常態分配、指數分布及其套用，其中參數為的指數分布的機率密度為
5．會求隨機變數函式的分布．
三、多維隨機變數及其分布
考試內容
多維隨機變數及其分布 二維離散型隨機變數的機率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續型隨機變數的機率密度、邊緣機率密度和條件密度隨機變數的獨立性和不相關性 常用二維隨機變數的分布 兩個及兩個以上隨機變數簡單函式的分布
考試要求
1．理解多維隨機變數的概念，理解多維隨機變數的分布的概念和性質.理解二維離散型隨機變數的機率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續型隨機變數的機率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變數相關事件的機率．
2．理解隨機變數的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變數相互獨立的條件.
3．掌握二維均勻分布，了解二維常態分配的機率密度，理解其中參數的機率意義．
4．會求兩個隨機變數簡單函式的分布，會求多個相互獨立隨機變數簡單函式的分布.
四、隨機變數的數字特徵
考試內容
隨機變數的數學期望（均值）、方差、標準差及其性質 隨機變數函式的數學期望 矩、協方差、相關係數及其性質
考試要求
1．理解隨機變數數字特徵（數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關係數）的概念，會運用數字特徵的基本性質，並掌握常用分布的數字特徵
2.會求隨機變數函式的數學期望.
五、大數定律和中心極限定理
考試內容
切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數定律 伯努利（Bernoulli)大數定律 辛欽（Khinchine）大數定律 棣莫弗－拉普拉斯（DeMoivre－laplace）定理列維－林德伯格（Levy-LINDBERG）定理
考試要求
1．了解切比雪夫不等式．
2．了解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律(獨立同分布隨機變數序列的大數定律).
3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分布以常態分配為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變數序列的中心極限定理).
六、數理統計的基本概念
考試內容
總體個體簡單隨機樣本統計量樣本均值樣本方差和樣本矩分布分布分布分位數正態總體的常用抽樣分布
考試要求
1．理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：
2．了解分布、分布和分布的概念及性質，了解上側分位數的概念並會查表計算．
3．了解正態總體的常用抽樣分布．
七、參數估計
考試內容
點估計的概念估計量與估計值矩估計法最大似然估計法估計量的評選標準區間估計的概念單個正態總體的均值和方差的區間估計兩個正態總體的均值差和方差比的區間估計
考試要求
1．理解參數的點估計、估計量與估計值的概念．
2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．
3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，並會驗證估計量的無偏性．
4．理解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間.
八、假設檢驗
考試內容
顯著性檢驗假設檢驗的兩類錯誤單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗
考試要求
1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤．
2．掌握單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗．
