斜漸近線

斜漸近線（英文名：SlantingAsymtote）的定義是：若當x趨向於無窮時，函式y=f(x)無限接近一條固定直線y=Ax+B（函式y=f(x)與直線y=Ax+B的垂直距離PN無限小，且limPN=0），當然也即PM=f(x)-(Ax+B)的極限為零，則稱y=Ax+B為函式y=f(x)的斜漸近線。解題時應注意當a=0時，有limf(x)=b(x趨向於無窮時)，此時稱y=b為函式f(x)的水平漸近線。所以，水平漸近線只是斜漸近線的一種特殊情況。解題時，我們可以不考慮水平漸近線，而只考慮斜漸近線和鉛直漸近線。

基本信息

• 中文名：斜漸近線
• 英文名：Slanting Asymtote

• 套用領域：函式-微積分

定義

若當x趨向於無窮時，函式y=f(x)無限接近一條固定直線y=Ax+B（函式y=f(x)與直線y=Ax+B的垂直距離PN無限小，且limPN=0），當然也即PM=f(x)-(Ax+B)的極限為零，則稱y=Ax+B為函式y=f(x)的斜漸近線。

規範求法

分析(在x趨向無窮時)

lim[f(x)-(Ax+B)]=0；lim[f(x)/(Ax+B)]=1

斜漸近線的正確求法(在x趨向於無窮時)

lim[f(x)/x]=A；lim[f(x)-Ax]=B

所以f(x)的斜漸近線方程為

y=Ax+B

求法證明

斜漸近性

如右圖所示

直線y=ax+b與x軸正向夾角為α，則有

PN=PM·cosα=[f(x)-(ax+b)]cosα.

按照斜漸近線定義，我們知道有limPN=0，而cosα是常數，所以

lim[f(x)-(ax+b)]=0.

所以可得：

A=lim[f(x)/x]，B=lim[f(x)-ax]

反之，亦然，證畢。

解題注意事項

當a=0時，有limf(x)=b(x趨向於無窮時)，此時稱y=b為函式f(x)的水平漸近線。所以，水平漸近線只是斜漸近線的一種特殊情況。解題時，我們可以不考慮水平漸近線，而只考慮斜漸近線和鉛直漸近線。