向量組等價

向量組等價是兩個向量組可以互相線性表出的意思。線性代數（Linear Algebra）是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地套用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。

基本信息

• 中文名：向量組等價
• 英文名：Vector group equivalence

• 套用：數學
• 別名：等價向量組

基本定義

列向量組等價的判斷

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…Bn的等價秩相等條件是
R（A）=R（B）=R（A，B），
其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣。
（注意區分粗體字與普通字母所表示的不同意義）
或者說：兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。
註：
1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。
2、任一向量組和它的極大無關組等價。
3、向量組的任意兩個極大無關組等價。
4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。
5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。
6、如果向量組A可由向量組B線性表出，且R（A）=R（B），則A與B等價。

數學實例

設有兩個向量組
（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；
（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；
如果（Ⅰ）中每個向量都可以由向量組（Ⅱ）線性表出，則稱（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表出；如果（Ⅰ）與（Ⅱ）可以相互線性表出，則稱（Ⅰ）與（Ⅱ）等價，記為（Ⅰ）≌（Ⅱ）。
例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，則向量組（Ⅰ）={α1，α2}與向量組（Ⅱ）={β1，β2，β3}等價。事實上，給定的條件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）線性表出，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，這表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）線性表出，由定義即知（Ⅰ）與（Ⅱ）等價。