點過程
點過程簡介
描述隨機點分布的隨機過程。很多隨機現象發生的時刻、地點、狀態等往往可以用某一空間上的點來表示。例如，服務台前顧客的到來時刻，真空管陰極電子的發射時刻，可表為實軸上的點。又如，天空中某一區域內星體的分布，核醫療中放射性示蹤物質在人體器官的各處出現，不同能級地震的發生，都可用二維以上空間的點表示。點過程就是描述這類現象的理想化的數學模型。它在隨機服務系統、交通運輸、物理學和地球物理學、生態學、神經生理學、傳染病學、信息傳輸、核醫療學等很多方面都有套用。
20世紀60年代以前，點過程的研究著重於一維情形，即實軸上的點過程，方法是比較初等的，內容多為考慮泊松過程的種種推廣。以後逐漸擴充到多維及更一般的空間，並與迅速發展的隨機測度論及鞅論相結合，無論在內容或方法方面都有了根本性的進展。
性質
一維點過程 在點過程的研究中，一維點過程在理論與套用上都占有重要的位置，它的統計規律可以通過三種不同的方式來描述：①點數性質：設N【s,t)表示落在區間【s,t)上隨機點的數目，N(A)表示落在集合A上隨機點的數目，令B表示實軸上的波萊爾域（見機率分布，則(N(A),A∈B)是定義在B上的隨機測度，這時它只取非負整數值，稱為隨機計數測度。若把開始觀測的時刻記為t0，則
是一隨機過程,稱為計數過程。它的機率分布就可以刻畫一維點過程。②間距性質：設隨機點依次出現的時刻為T1≤T2≤…，取T0=t0,
,n=1,2,…,它們是相鄰兩隨機點的時間間距，於是｛τn｝是一非負隨機變數序列。它的機率分布也可用來刻畫一維點過程。若｛τn｝相互獨立且同分布,則點過程稱為更新過程。③平均發生率與發生強度：單位時間(或距離)內隨機點的平均出現次數稱為平均發生率。確切地說，t時的平均發生率為 
。更本質的概念是發生強度。設｛Ft,t≥t0｝為一給定的非降σ 域族，Ft可以理解為到t時為止過程的歷史或某種外部隨機因素所產生的事件全體。發生強度一般可定義為
,它不一定存在，如果存在，可能是常數，也可能是t的函式,也可能是一隨機過程。如果是一隨機過程，則它可能依賴於點過程過去的歷史（稱為自激點過程），也可能依賴於外部的隨機因素（稱為重隨機點過程）。對於泊松過程，平均發生率與發生強度是一致的。
一般點過程的數學模型 設 E為可分完備距離空間（它是普通實空間的推廣，見度量空間）,E為K上由全體開集產生的σ域。B嶅E是全體有界可測集。μ為定義於(K,E)上的測度,如果當B∈B時有μ(B)<
,則稱μ為局部有限測度；如果μ恆取非負整數值或，則稱μ為計數測度。以n表示全體局部有限計數測度（局部有限性反映事件的發生不是稠密的）。當α=0,1,2,…,B∈B時，一切形如｛μ：μ∈n,μ(B)≤α｝的 n 的子集產生的σ域記作N。從機率空間(Ω，F，P)到可測空間(n,N)的任一可測映像ξ,稱為(K,E)上的點過程。每一ω對應一計數測度ξ(ω,·)∈n,而對每一A∈E,ξ(·,A)為整值隨機變數。機率測度P 通過映像ξ誘導出一(n,N)上的一個機率測度
,C∈N,它就是點過程ξ的機率分布。對於點過程,也有相當於一般隨機過程的柯爾莫哥洛夫存在定理。
簡單性、有序性和無後效性 局部有限計數測度μ稱為簡單的,如果對每一x∈K有μ({x})≤1,以ns表其全體。點過程ξ稱為簡單的,Pξ（如果ns）=1；稱為有序的,如果對任一ε >0,存在K的分割：
，
,i≠j，使
。從有序性可以推出簡單性，而對相當廣泛的一類點過程二者等價。如果對任何正整數k,任何非負整數l1,l2,…,lk以及任何兩兩不交集
,有
則ξ稱為無後效的。對於一維情形,無後效性等價於獨立增量性。特別，泊松過程是有序的無後效點過程。
點過程的變換 點過程經不同的變換，可以產生新的點過程或隨機測度。主要的有：①一維點過程時間軸的變換:例如非齊次泊松過程(N(t),t≥0)如具有強度函式λ(t),令
,則通過變換M(t)=N(Λ-1(t)),t≥0可變為參數為 1的齊次泊松過程。②隨機平移：直線上每一隨機點作相互獨立相同分布的隨機平移可得到一新的點過程。例如一個無須等待的服務系統，通過隨機平移，可以把描述顧客到來的點過程變為描述顧客離去的點過程，其平移時間即服務時間。③複合：若一維點過程 (N(t)，t≥0) 的每一隨機點的出現都聯繫著另一個隨機變數，則它們合在一起就稱為標值點過程。例如
，其中Yn是實值隨機變數。④稀疏：若點過程的每個點只以一定的機率被觀測到（或進行取捨），則所得的點過程稱為原過程的稀疏。⑤疊加：把若干個點過程疊加在一起可得到一個新的點過程。例如全部顧客的到來就是其中各類顧客到來的疊加。利用點過程的各種變換，可以從較簡單的點過程出發，構造出多種多樣的模型，用以描述和研究更複雜的隨機現象。
無窮可分點過程 點過程的疊加的逆問題是點過程的分解。設ξ為一點過程，如對任一正整數n存在相互獨立相同分布的點過程ξ1，ξ2，…，ξn，使ξ與
同分布，則稱ξ為無窮可分點過程。利用隨機測度理論,無窮可分點過程的表征問題得到了比較徹底的解決。
套用
隨機測度的收斂與極限問題 相應於測度序列的各種收斂性，可以定義隨機測度（隨機點過程）的弱收斂、強收斂、淡收斂、依分布收斂等（見機率論中的收斂），並可研究其相互關係，從而進一步研究在一定條件下隨機測度序列收斂到某個特殊隨機測度的問題。這一類問題與無窮可分點過程理論密切相關。一個有趣的結果是：相互獨立的隨機點過程的疊加，若滿足所謂一致稀疏條件，則疊加過程收斂於泊松過程。它與中心極限定理中獨立隨機變數的標準化部分和收斂於常態分配的結果相似。類似於特徵函式與母函式（見機率分布）在研究隨機變數的分布及其極限理論中的作用，對於點過程，也可以定義機率母泛函與拉普拉斯泛函，作為研究其極限問題的重要工具。
點過程與隨機幾何 60年代後，由於自然科學和其他實際問題的需要，產生了大量與點、線、面等幾何元素的隨機分布有關的機率問題，它們屬於隨機幾何的範疇。例如，研究細胞核中成對染色體的相對位置，需要求出在兩同心圓上均勻分布的兩隨機點距離的機率分布，由研究聲波反射而提出的求平均路長問題等。布豐的投針問題(見機率)可能是最早的這類問題之一，它求出了隨機拋一枚針與一組等距離的平行線不相交的機率，從而可以用實驗的方法求得圓周率π的近似值。點過程及其進一步的發展還與隨機幾何相聯繫,產生了線過程、面過程、超平面過程、隨機分叉樹等模型，它們又可以經過一定的變換，變為某一流形上的點過程。例如平面上的一條直線，它以與原點的距離及與坐標軸的交角為參數，可以對應柱面上一點，因而平面上的隨機線過程可以表為柱面上的隨機點過程。
參考書目
P.A.W.Lewis,Stochastic Point Processes: Stochastical Analysis, Theory and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1972.
O. Kallenbery,Random Measures, Academic Press, London, 1976.
D.L.斯奈德著,梁之舜、鄧永錄譯:《隨機點過程》,人民教育出版社,北京,1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.)
