泊松過程
正文
一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換台收到的呼喚次數,就構成一個泊松過程。用數學語言說,滿足下列三條件的隨機過程X={X(t),t≥0}叫做泊松過程。①P(X(0)=0)=1。②不相交區間上增量相互獨立，即對一切0≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)相互獨立。③增量X(t)-X(s) (t>s)的機率分布為泊松分布,即
，式中Λ(t)為非降非負函式。若X還滿足④X(t)-X(s)的分布僅依賴於t-s，則稱X為齊次泊松過程；這時Λ(t)=
λt，式中常數λ>0稱為過程的強度，因為EX(t)=Λ(t)=λt,λ等於單位時間內事件的平均發生次數。非齊次泊松過程可通過時間尺度的變換變為齊次泊松過程。對泊松過程,通常可取它的每個樣本函式都是躍度為1的左(或右)連續階梯函式。可以證明，樣本函式具有這一性質的、隨機連續的獨立增量過程必是泊松過程，因而泊松過程是描寫隨機事件累計發生次數的基本數學模型之一。直觀上,只要隨機事件在不相交時間區間是獨立發生的,而且在充分小的區間上最多只發生一次，它們的累計次數就是一個泊松過程。在套用中很多場合都近似地滿足這些條件。例如某系統在時段【0,t)內產生故障的次數,一真空管在加熱t秒後陰極發射的電子總數,都可假定為泊松過程。1943年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程，後來Α.Я.辛欽於50年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。 齊次泊松過程的特徵 描述隨機事件累計發生次數的過程通常稱為計數過程（見點過程）。一個簡單而且局部有限的計數過程｛X(t)，t≥0｝，往往也可以用它依次發生跳躍(即發生隨機事件)的時刻{Tn，n≥1}來規定，即取T0=0，Tn＝inf{t:X(t)≥n}，n≥1，而當Tn<t≤Tn+1時，X（t）＝n。若以
，表示X(t)發生相鄰兩次跳躍的時間間距，則計數過程是齊次泊松過程的充分必要條件為{τn，n≥1}是相互獨立同分布的，且
，其中λ為某一非負常數。齊次泊松過程的另一個特徵是:固定t,X(t)是參數為λt的泊松分布隨機變數，而當X(t)=k已知的條件下,X的k個跳躍時刻
與 k個在［0,t)上均勻分布且相互獨立的隨機變數的次序統計量（見統計量）有相同的分布。泊松過程的這一特徵常作為構造多指標泊松過程的出發點。從馬爾可夫過程來看，齊次泊松過程是時間空間都為齊次的純生馬爾可夫鏈。從鞅來看，齊次泊松過程X是使{X(t)-λt,t≥0}為鞅的躍度為1的計數過程。 泊松過程的推廣 較泊松過程稍為廣泛的計數過程是更新過程，更新過程的跳躍時間間距是相互獨立同分布的，但不一定是指數分布。這類過程常被用來描寫某些設備的累計故障次數。若對跳躍時間間距不作任何假定，就成為一般的計數過程或稱一維點過程。假如某設備在【0，t)時段內故障的累計次數N(t)是泊松過程，而每次故障造成的耗損不盡相同,用隨機變數Yi表示第i次耗損，則在【0,t)內總的耗損為
。當{N(t)，t≥0}為齊次泊松過程，{Yi,i≥1}又是相互獨立同分布且與｛N(t)｝獨立時,X=｛X(t)，t≥0｝稱為複合泊松過程。由於{N(t),t≥0}可以用其跳躍時刻{Ti,i≥1}來規定,因而複合泊松過程可用{(TnYn),n≥1}來規定,即
。若對{(Tn,Yn),n≥1}的統計特性不作任何假定，這樣規定的X 便是一種一般地描述系統跳躍變化的隨機過程，常稱為標值點過程，也稱多變點過程或跳躍過程。 泊松過程除作為計數過程的一種重要數學模型外，又是眾多重要隨機過程的特例。獨立增量過程的萊維－伊藤分解表明,利用它還可構成一般的獨立增量過程,因而它在隨機過程中占有特殊地位，也有人把它與布朗運動一起稱之為隨機過程的基石。
參考書目
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D.L.斯奈德著，梁之舜、鄧永錄譯:《隨機點過程》，人民教育出版社，北京，1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.)
伊藤清著，劉璋溫譯：《隨機過程》，上海科學技術出版社，上海，1962。（伊藤清著：《確率?波書店，東京,1958。）
