中心極限定理

中心極限定理（centra llimit theorem）是機率論中討論隨機變數序列部分和分布漸近於常態分配的一類定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數積累分布函式逐點收斂到常態分配的積累分布函式的條件。它是機率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際套用背景。在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從常態分配的。中心極限定理就是從數學上證明了這一現象。最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，事件A出現的次數漸近於常態分配的問題。1716年前後，A.棣莫弗對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現的機率為1/2的情況進行了討論，隨後，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進行了推廣和改進。自P.萊維在1919～1925年系統地建立了特徵函式理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發展，先後產生了普遍極限定理和局部極限定理等。

基本信息

• 中文名稱：中心極限定理
• 外文名：central limit theorem
• 提出者：棣莫弗
• 提出時間：1733年
• 套用學科：central limit theorem
• 適用領域範圍：自然界與生產

歷史發展

中心極限定理

中心極限定理有著有趣的歷史。這個定理的第一版被法國數學家棣莫弗發現，他在1733年發表的卓越論文中使用常態分配去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著ThéorieAnalytiquedesProbabilités中拯救了這個默默無名的理論.拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論，指出二項分布可用常態分配逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。直到十九世紀末中心極限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中心極限定理並在數學上進行了精確的證明。如今，中心極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。

定理定義

簡介

中心極限定理是研究獨立隨機變數和的極限分布為常態分配的問題。極限定理是機率論的重要內容，也是數理統計學的基石之一，其理論成果也比較完美。長期以來，對於極限定理的研究所形成的機率論分析方法，影響著機率論的發展。同時新的極限理論問題也在實際中不斷產生。

規範和

設隨機變數序列X1，X2，、、、Xn，、、、相互獨立，均具有相同的數學期望與方差，且E(Xi)= Ui,D(Xi)=Ri^2>0,i=1,2,、、、，令：
Yn=X1+X2+、、、+Xn
Zn=〔Yn-E(Yn)〕/√D(Yn)=∑(Xi-Ui)/√∑Ri^2 (i=1,2、、、、n)
則稱隨機變數Zn為隨機變數序列X1，X2,、、、，Xn的規範和。
中心極限定理：設從均值為μ、方差為σ^2;（有限）的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ^2/n的常態分配。

常用定理

列維定理

林德伯格－列維（Lindburg-Levy）定理，即獨立同分布隨機變數序列的中心極限定理。它表明，獨立同分布、且數學期望和方差有限的隨機變數序列的標準化和以標準常態分配為極限。
設隨機變數X1，X2，......Xn，......相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0(k=1,2....),則隨機變數之和的標準化變數的分布函式Fn（x）對於任意x滿足limFn（x）=Φ（x），n→∞　其中Φ(x)是標準常態分配的分布函式。

拉普拉斯定理

棣莫佛－拉普拉斯（de Movire - Laplace）定理，即服從二項分布的隨機變數序列的中心極限定理。它指出，參數為n, p的二項分布以np為均值、np(1-p)為方差的常態分配為極限。