概述
完美數主要特點
由於完美數有許多有趣的性質和無與倫比的魅力，2500多年來一直吸引著眾多的數學家和業餘數學愛好者對它進行探究。迄今為止，人類僅發現47個完美數，而且都是偶完美數。至於偶完美數是否無窮和有沒有奇完美數，至今沒有定論；這已成為數學中的著名難題。古希臘數學家歐幾里得在名著《幾何原本》中證明了素數有無窮多個，並論述完美數時提出：如果2^P-1是素數(其中指數P也是素數)，則2^(P-1)(2^P-1)是完美數。瑞士數學家和物理學家歐拉證明所有的偶完美數都有這種形式。因此，人們只要找到2^P-1型素數，就可以發現偶完美數了。
數學界將2^P-1型素數稱為“梅森素數”(Mersenneprime)，因為法國數學家和法蘭西科學院奠基人梅森在這方面的研究成果較為卓著。梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。
梅森素數
1772年，有“數學英雄”美名的歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時已知的最大素數。第8個偶完美數——2^30(2^31-1)也由此而來。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人讚嘆不已。值得提出的是：在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家魯卡斯和美國數學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。此外，中國數學家和語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找梅森素數提供了方便；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯通過參加GIMPS項目，於2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素數2^43112609-1；該數也是目前已知的最大素數。這個素數有12978189位；如果用普通字號(4號)將它連續打下來，其長度可超過50公里！人類也因此發現了迄今已知的最大偶完美數——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時代》雜誌評為“2008年度50項最佳發明”之一。
研究價值
完美數梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大偶完美數的唯一途徑；其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、格線技術、程式設計技術的發展以及快速傅立葉變換的套用。
它還可用來測試計算機硬體運算是否正確。由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。可以在此預言：完美數這顆數學寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。
典型案例
例如，前兩個完美數分別是：6，28。畢達哥拉斯曾說：“6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身。”不過有人認為或許印度人和希伯來人早就知道完美數的存在了。有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字；他們指出創造世界花了6天，28天則是月亮繞地球一周的天數。這使得完美數充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為“上帝之數”。法國數學家和哲學家笛卡爾曾公開預言：“能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”可見這種數既優美又稀少。已知自然數a和b，如果b能夠整除a，就說b是a的一個因數，也稱為約數。顯然，任何自然數a，總有因數1和a。我們把小於a的因數叫做a的真因數。
例如6，12，14這三個數的所有真因數：
6 ：1，2，3； 1+2+3=6 6 = 6
12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=16 16>12
14：1，2，7； 1+2+7=10 10<14
像12這樣小於它的真因數之和的叫做虧數（不足數）；大於真因數之和的（如14）叫做盈數或過剩數；恰好相等的（如6）叫做完全數，也稱為完美數。
現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們只發現47個，而且都是偶完美數。前5個完美數分別是：6，28，496，8128，33550336。
經過不少科學家的研究，現在已經發現，假如數(2^n-1)是素數，那么數( 2^(n-1)×(2^(n-1)) )就一定是完全數，其中的n也同樣是素數。為此，數學家就用英文prime（素數）的第一個字母p代替n，還把形如 (2^p -1)的素數叫“梅森素數”。但是對於下面兩個問題：“偶完全數的個數是不是有限的？”“有沒有奇完全數？”數學家到現在還沒有解決。
有趣性質
1、它們都能寫成連續自然數之和：
完美數6=1＋2＋3
28=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
8128=1＋2＋3＋4……＋127
2、它們的全部因數的倒數之和都是2。
1/1+1/2+1/3+1/6=2 ,
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 ,
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2 .
