中點弦

對於給定點P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點且被P點平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連線圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。

　二次曲線中點弦性質與蝴蝶定理
蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現了蝴蝶生態美與“數學美”的一致性．不少中數專著或雜誌至今還頻繁討論．本文揭示了它與中點弦性質的緊密聯繫，並給出統一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式．
引理：設兩條不同的二次曲線
S：F(x，y)=a11x2＋2a12xy＋a22y2＋2a13x＋2a23y＋a33=0
(1)
(2)
有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線，則過A、B、C、D四點的任意一條二次曲線S2必可唯一地表示成：
(證明略)
定理1 設三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線；又直線L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中兩弦中點重合，則第三弦中點亦重合．
證 設S、S1的方程為(1)、(2)，則S2方程可表為(3)．因直線L0(設斜率為k)關於二次曲線S、S1、S2的共軛直徑分別為：
L：(a11x＋a12y＋a13)＋k(a12x＋a22y＋a23)=f(x，y)=0
因L、L1都通過L0被S與S1所截得的弦PQ與EF的共同中點O，顯然L2也必通過點O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中點．
注 兩直線AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲線S1的特殊情形，甚至E和F重合於O．故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形．
定理2 設AB∥CD，S和S1是過A、B、C、D四點的任意兩條二次曲線．若平行於AB的任意直線與S、S1各有兩個交點，則夾在兩曲線之間的兩線段相等．
證 設AB、CD的中點分別為M、N，又AB∥CD，故直線MN就是AB關於S和S1的共軛直徑，故若平行於AB的任意直線被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中點O，故有PE=QF，命題得證．
注 由於PQ可為AB與CD之間任意平行弦，皆有PE=QF，故夾在S和S1之間的兩曲邊區域△1和△2面積相等．[1]它酷似蝴蝶兩翼，不過並非軸對稱，而是沿AB方向共軛．如果世上真有這樣的蝴蝶，飛行亦能平衡自如．
定理1還可推廣得到更一般的結論．
定理3 若三條不同的二次曲線S、S1、S2有無三點共線的四個公共點，沿某一確定方向的任意直線L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，則三弦中點O、O1、O2之間有向線段之比為常數．
證 不妨取坐標系使確定方向為x軸．於是該方向(k=0)關於S、S1、S2的共軛直徑分別為(參見定理1)：
L：a11x＋a12y＋a13=0
L1：b11x＋b12y＋b13=0
L2：(a11x＋a12y＋a13)＋λ(b11x＋b12y＋b13)=0
設直線L0方程為y=y0，PQ、EF、GH的中點為O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，於是由直徑方程知：
a11x0＋a12y0＋a13=0，b11x1＋b12y0＋b13=0
(a11x2＋a12y0＋a13)＋λ(b11x2＋b12y0＋b13)=0
故 a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)
即 OO2/O2O1=α (a11≠0時) (5)
其中α=－λb11/a11是與y0無關的常數(由S、S1、S2三曲線確定．當a11=0時，L∥L0可知L0與S無兩個交點，故不在本命題討論之列)．
(5)式意即：在指定順序O、O2、O1之下，兩有向線段之比不因L0平行移動而變化．
推論 在定理3條件下，對任意直線L0所截的三弦中點中，任意兩點總在第三點同側或異側．當O、O1、O2中有兩點重合時，第三點也重合．“蝴蝶定理”雖然如自然界的蝴蝶種類一樣千變萬化，然而萬變不離其宗，核心在於中點弦性質．