阿基米德中點定理

阿基米德中點定理說明：圓上有兩點A,B，M為弧AB的中點，隨意選圓上的一點C，D為AC上的點使得MD垂直AC。若M、C在弦AB異側，則AD=DC+BC；若M、C在弦AB同側，則AD=DC-CB。
證明若為同側：線上段AD上取點X，使得DX = DC，由於MD\perp AC，有
MX = MC。又因為M為弧AB中點，AM = BM。
同時由圓周角定理知：
\angle MAC=\angle MBC，\angle ABM=\angle ACM，
所以\angle XMC = 2\angle DMC =180^\circ - 2\angle ACM = 180^\circ - 2\angle ABM = \angle AMB ，
所以\angle AMX=\angle AMC - \angle XMC=\angle AMC - \angle AMB = \angle BMC，
所以\triangle AMX \cong \triangle BMC，
所以AX = BC，AD = AX + XD = DC + CB，命題得證。
若為異側：線上段AD延長線上取點X,使DX=AD.因為M為弧AB中點，所以角ACM=角BCM.又因為四邊形AMBC為圓內接四邊形，所以，延長CB至P,則角MBP=角MAC.但是AD=DX,角ADM為直角，所以\triangle ADM \cong \triangle XDM ；\angle MAC = \angle AXM ； \angle MBP = \angle AXM ； \angle CXM = \angle CBM 。
又CM = CM，所以\triangle CXM \cong \triangle CBM 。
承上，所以CX = CB。所以AD = DC - CX = DC - CB。