證明
把圓的圓心設為O點，且要求把等腰三角形的角頂在O點上，另外圓內等腰三角形的兩個頂點交於圓上，分別為A.，C。由於圓的坡度可大可小，從而導致不能2線成比例，造成數量的變化，比例不同，以致分割圓，可以把等腰三角形不斷地分割下去。
設等腰△AOC的頂角為α，半徑為R，從而求的α所R與圓弧的大小L=nπr²/2 , ①圖，即在①圖中作OB⊥CA(即CA的垂直平分線)，即垂直平分線交於圓上於B點，平分⌒CA。B點交於圓上，連線BC，AB,再作CB,AB的垂直平分線，交於圓上點D,F;繼而作CD,DB的垂直平分線，交於G,E,也就是可以把等腰三角形不斷地分割下去，不斷分割等腰三角形的等腰讓垂直平分線，垂直平分線上的點交於圓，又不斷連線這條腰的兩端，反覆這樣地連線下去，以使⌒COA內的等腰三角形面積的總和接近扇形AOC的面積。
由①圖得到②圖可知，且設AD為X,因為OA=R,,CD=ABX,OB又為等腰三角形OCA,CA邊的垂直平分線。
∴Op=√r²-x²
得PB=R-√r²-x²
從而我們就得到△ABC的面積=2﹙r-√r²-x²﹚/2=x﹙r-√r²-x² ﹚，△OCA的面積=2x√r²-x²/2
∵CP=X,PB=r-√r²-x²
得到CB=√cp²+pΒ²=√x²+﹙r-√r²-x²﹚²
即有CQ=QB=cΒ/2=√x²+﹙r-√r²-x²﹚²/2
而OQ=√oB²-QB²=√r²-[√x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2
故QD=r-√r²-[√x²-﹙r²-x²﹚²]/2
∵等腰三角形ABC有二條腰且等長，且在⌒CDB 與 ⌒ ABf 中各有一個等腰三角形
∴sΔCDB+sΔΒfΑ=2sΔcDΒ=BC×QD=√x²+﹙r-√r²-x²﹚²×﹛r-√r²-√x²+[﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜
∵作為等腰△CDB的兩腰的垂直平分線，會交於圓G,E.
∴需要把DB作為底邊，則△DEB=DB*Q2E*1/2
因此，先要求出DB的值
即DB=√DQ²+QB²=√﹛r-√r²-[√x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜²+[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/4
根據海倫公式S=√p﹙p-c﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚ 其中p=﹙a+b+c﹚/2
根據海倫公式求出S△ADC的面積
其中P= r+x S△ABC=x﹙r-√r²-x²﹚
∴S= nπr²/360°- x﹙r-√r²-x²﹚ 而又有S△ABC=√﹙r+x﹚x ²﹙r-x﹚
即扇形OAC中的面積減去S△ABC的面積為S值，是S值接近於S△AOC的值
已知2S△CDB=√x²+﹙r-√r²-x²﹚²+﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜
已知ODB,則有DW=WB=DB/2=﹛√﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜²+[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/4﹜
而OW=√oB²-wB²=√r²-﹛√﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜²+[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/4﹜/4
∵W為OE上一點
∴WE=R-OW
∴4S△DBE=DB×WE/2×4=2DB×WE
∴4S△DBE=2DB×WE=﹛√﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜²+[x²+﹙r-√r²-x²﹚﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜
∴nπr²/360°=xr+√[x²+﹙r-√r²-x²﹚] ×﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜+﹛√﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜²+[x²+﹙r-√r²-x²﹚﹛r-√r²-√[x²+﹙r-√r²-x²﹚²]/2﹜×2+……
將方程進行化簡，可以得到上式
即當設a1=x√r²-x²,a2= x﹙r-√r²-x² ﹚,而a3= s△CDB,a4= 4S△DBE……
一般地，當項數n無限增大時，無窮數列﹛an﹜的項an無限趨近於某各個常數a (即不相同的三角形面積無限地接近於0)，那么數列﹛an﹜以0為極限，也就是說a 是數列﹛an﹜的極限。
∴Liman=0
n→+∞
∴Limsn= nπr²/360°
n→+∞
由於本問題所要的是a1、a2、a3、……an之間的關係，而 a1、a2、a3、……an 可以被認為是一個數列。由於an是一個面積值，故底邊與高存在遞推關係,且an其中的底邊xn和高yn可以是任意的正數，因此我們只需研究x1和x2，an之間的遞推關係式，並用數學歸納法予以證明,利用重要的已知的極限去研究sn的值。
∵OA=r, AC=2x
而從計算中可以表明。數列 是項數幾的函式，a1的根眼是函式極限的特例，設a2為首項。
∵CA為X2，XB為Y2,把△ABC作為參照物，CA=2X
∴pB=r-√r²-﹙AC∕2﹚²
又設CB為X3,DQ為Y3，把△CDB作為參考的,DQ= r-√r²-﹙BC∕2﹚²
∴綜上所述，有yn= r-√r²-﹙xn∕2﹚²
而QB與CB,CB與DB又存在遞推關係式。
求出 Xn=√﹙x﹙n-1﹚∕2﹚²﹢﹙y﹙n-1﹚∕2﹚²
= √﹛﹙x﹙n-1﹚∕2﹚²﹢[r-√r²-﹙xn∕2﹚²] ﹜﹙n≧2,n屬於﹚
∵這個數列的項數是無限多項，且式子冗雜，故不利於人工計算。
∴nπr²/360° sn=0.5x1y1﹢0.5×2x2y2+0.5×4x3y3+……+0.5×2 ˆ(n-1)xnyn
為了將這個公式適於人工計算，過定就運算可以發現，可以近似求扇形面積。
（1） 畫出草圖，在直角坐標系中畫出一個直徑為2R，圓心為（O，O）的圓；
（2） 取底邊上兩點，分相在相對應得圓弧上作中點，即取a2的三個頂點，作出曲線，底邊為直線的大致圓象；
（3） 藉助圓形確定被積函式，求出交點坐標，確定積分上，下限；
（4）拋物線與圓圍成的面積表示成若干個定積分的和；
（5）計算並求出結果
∵圓心的坐標是（O,0）圓的半徑為R，QA=X
∴A（X，-√R²-X²) B（-R,O） C(-X,- √R²-X²)
∵拋物線經過A,B,C三點，且設Y=aX²A+Bxa+C
∴aX²+Bx+c=-√R²-X²
aR²-Br+C=0
aX²-Bx+c=-√R²-X²
解得：a1=√R ²-X ²∕R ²-X ² b=0 -b1= c= -R ²√R ²-X ²∕R ²-X ²
故拋物線的方程是Y=xA ² (√R ²-X ²)/(R ²-X ²)-R ² (√R ²-X ²)/(R ²-X ²)
但拋物線與直線所圍成的面積不能使弦角公式非常精確，於是的設拋物線B,C,D主點，且設Y=a2XA²+b2XA+C
其中D2為CQ中點，D3為CB的中點，作D3D2的反向延長線交圓弧於D1點，作D1D4⊥oB
D1(-X/2,- √R²-(X/2) ² B(-R,O) C(-X,- √R²-X²)
∴(X/2) ²a-Xb/2+C=- √R²-(X/2) ²
Ar²-Br+C=0
aX²-Bx+C=- √R²-X²
∴a(R²-X²)+b(-R+X)= √R²-X²
a（R²-X²/4）+b（-R+X/2）=√R²-(X/2) ²
解得：a2=[√R²-X²+b(R²-X²) ] /(R²-X²)
b2=﹛√r²-﹙x½﹚²(r²-X²)-[r²-﹙x ½﹚] ² √(r²-X²)﹜/﹛[r²-﹙x ½﹚] (R-X﹚+(-R+X½) (R²-X²)
c2=b2r-a2r²
∵有兩點B(-R,O)和C（-X,- √R²-X²），且（Ya-y1）/（y2-y1）=(xA-x1) /(x2-x1)
Ya=(xA+R)√R²-X²) /R-X=(xA+R)√R²-X²) /R-X=(XA(√R²-X²) /(R-X))+ (√R²-X²) /(R-X) =>a3=(√R²-X²) /R-X b3=(R√R²-X²) /R-X
如圖③所示，當-x﹤XA﹤0時
∵直線y=Xaa3+b3在曲線y=a2X³A+b2XA+C的上方
∴∫0-X{a3XA+b3-（a2X²A+b2X²A+C）dx
=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X²A+(b3-C)}dx
=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X²A+(b3-C)}dx
={(a3-b2}/2)X²A-（a²/3）X²A+(b3-C)XA) ￡0-X
=-x ²（a3-b2）/2-a2/3X²+（b3-C）X
∴Limsn=n R²/380°,sn=x1y1½+x2y2½+{-（（a1-b1）/2）x²-（a2/3）X³+（b1-c）X}
n→+∞
根據（1）式,y=(√R²-X²) /(R²-X²)X²a-(R²√R²-X²) /R²-X²
而y=-√R²-X²，且設Y=axA2-b
如圖③所示，當-X<XA<X時，直線Y=-√R²-X²在曲線y=Ax²-b1的上方
∫X，-x{-√R²-X²-Ax²A+b}
=∫X，-x{-√R²-X²+b1-Ax²A}
=∫X，-x{-Ax²A -√R²-X²+b1 }
={-(a1/3)X³A+(b1-√R²-X²)XA}∫X，-x
={-(a1/3)X³+(b1-√R²-X²) (a1/3)X³+（b1-√R²-X²）X
=-(2a1/3)X³+2（b1-√R²-X²）X
∴Limsn=n R²/380°,sn=x1y1½--(a/3)X³+2（b-√R²-X²）X
n→+∞
公式的套用
關於弦角公式的套用：
1． 求反正弦函式，反餘弦函式，反正切函式的值
2． 利用π= arctan½+ arctan1/5+ arctan1/8求π的值
3． 求根號值，√X, 3√X,4√X……x√X的值
4． 適用於人工計算和計算機計算
5． 利用分割法或多倍角得sin1度，求正弦值
6． 解高次方程，求零點
公式總結
b2=﹛√r²-﹙x½﹚²(r²-X²)-[r²-﹙x ½﹚] ² √(r²-X²)﹜/﹛[r²-﹙x ½﹚] (R-X﹚+(-R+X½) (R²-X²)
a2=[√R²-X²+b(R²-X²) ] /(R²-X²)
c=b2r-a2r²
a1=√R ²-X ²∕R ²-X ²
b1= R ²√R ²-X ²∕R ²-X ²
a3=√R ²-X ²∕R -X
b3= R√R ²-X ²∕R -X (r= R )
0.5x1y1= X √R ²-X ²
0.5×2x2y2=x[ R-√R ²-X ²]
公式∶Limsn=n R²/360°,sn=x1y1½+x2y2+ [-x ²（a3-b2）/2-a2x ²/3+（b3-C）X ]
n→+∞
公式∶Limsn=n R²/360°,sn=x1y1½+x2y2+ -(2a1/3)X³+2（b1-√R²-X²）X
n→+∞
公式∶Limsn=n R²/360°,sn=x1y1½+x2y2+ 0.5×4x3y3+……+0.5×2 ˆ(n-1)xnyn
Xn=√﹙x﹙n-1﹚∕2﹚²﹢﹙y﹙n-1﹚∕2﹚²
= √﹛﹙x﹙n-1﹚∕2﹚²﹢[r-√r²-﹙xn∕2﹚²] ﹜﹙n≧2,n屬於﹚
yn= r-√r²-﹙xn∕2﹚²
