三角級數
形如
(1)

三角級數(1)還可以寫成下面複數形式的級數:
(2)


如果三角級數(1)對一切實數x都收斂,那么(1)表示了實數軸上的一個周期為2π周期函式ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)對一切x∈(- ∞,∞)都成立。這是因為(1)中每一項都是周期為2π的周期函式。但是實際問題往往是,對給定的函式ƒ,如果它是具有周期2π的周期函式,需要把它表示成三角級數(1)。19世紀初,法國科學家J.-B.-J.傅立葉在研究熱的流動時,為了求解熱方程,首先就提出了這個想法。他的構想,雖然從現在的觀點看,缺乏理論的嚴謹性,但卻是人們對三角級數進行研究的出發點,對於近代數學以及物理、工程等許多學科都有著深遠的影響。
如果三角級數(1)一致收斂於連續函式ƒ(x),那么用coskx或sinkx去乘級數(1),再在區間(0,2π)上進行積分,注意到逐項積分的可能性,就得到係數αn,bn與函式ƒ的關係式:
(3)
對於給定的周期函式ƒ(x),如果ƒ是可積的,那么從(3)式仍然可以得到αn,bn,從而得到相應的傅立葉級數(1)。這就建議人們去研究ƒ 的傅立葉級數是否收斂於ƒ以及有關的許多問題。從19世紀到現在,傅立葉級數的理論逐步得到建立,已成為三角級數理論中的一個基礎分支,也是一個具有廣泛套用的工具學科(見傅立葉級數)。
傅立葉級數的性質,由函式ƒ可以通過(3)進行研究。自然要問,任意的三角級數(1),是否為某函式的傅立葉級數呢?這個問題的答案是否定的。因為根據傅立葉係數的性質,傅立葉係數αn,bn必須滿足條件

那么係數αn,bn趨於0的三角級數(1),是否為傅立葉級數呢?下面的例子

三角級數(1)的共軛級數是
(4)
(5)
值得注意的是,傅立葉級數的共軛級數未必是傅立葉級數。例如,級數

一般的三角級數,由於不存在關係式(3),因此增加了它的複雜性。到目前為止,人們對它的了解還是十分初步的。值得注意的是,三角級數往往可以提供許多奇特的函式,這對數學理論的基礎研究,有著重大的意義。
例如,用所謂F.里斯的無窮乘積
(6)



又例如缺項很多的三角級數
(7)

中國在三角級數方面開展研究最早的是陳建功。他從1928年開始就在日本《東京皇家科學院學報》發表關於正交函式級數的文章,他於1930年在日本岩波書店出版的《三角級數論》是國際上三角級數論方面較早的專著之一。