來源
傅立葉級數 法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明
多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的套用。
公式
傅立葉級數 給定一個周期為T的函式x(t)，那 么它可以表示為無窮級數：
傅立葉級數 （j為虛數單位）（1）
傅立葉級數 其中，
可以按下式計算：
（2）
傅立葉級數 注意到
；是周期為T的函式，故k取不同值時的周期信號具有諧波關係（即它們都具有一個共同周期T）。
k=0時
（1）式中對應的這一項稱為直流分量，k=1時具有基波頻率
稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
性質
收斂性
傅立葉級數的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫里條件如下：
傅立葉級數 在任何周期內，x(t)須絕對可積；
在任一有限區間中，
x(t)只能取有限個最大值或最小值；
在任何有限區間上，
x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，
如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，
那么x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號
正交性
傅立葉級數 所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0
這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，
例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。
事實上
正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。
一組n個互相正交的向量必然是線形無關的，
所以必然可以張成一個n維空間，
也就是說，
空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。
三角函式族的正交性用公式表示出來就是：
傅立葉級數 
傅立葉級數 
傅立葉級數 奇偶性
f_o 奇函式
可以表示為正弦級數，而偶函式
則可以表示成餘弦級數：
傅立葉級數 只要注意到歐拉公式：
這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中導出。
廣義傅里
傅立葉級數 任何正交函式系
如果定義在[a,b]上的函式f(x）只具有有限個第一類間斷點，那么如果f(x）滿足封閉性方程：
傅立葉級數 （4），
傅立葉級數 那么級數
（5） 必然收斂於f(x），其中：
傅立葉級數 （6）。
事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：
傅立葉級數 成立
這稱作貝塞爾(Bessel）不等式。
此外
式（6）是很容易由正交性推出的
因為對於任意的單位正交基
向量x在
上的投影總為。
