基本定義
三角函式
三角恆等式sinθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
誘導公式
基本公式sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=cotα
cot（3π/2+α）=tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
兩角與差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化積sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
積化和差sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]
cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
sin(3α)=3sinα-4sin³α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)=4cos³α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)
倍角公式
根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-coα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]c
sc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
輔助角
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]萬能公式sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]
降冪公式sin^α=[1-cos(2α)]/2
cos^α=[1+cos(2α)]/2=1-sin(2α)/2
tan^α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
冪級數c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函式,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數，這種級數稱為冪級數。
泰勒展開式又叫冪級數展開法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……(-∞<x<∞)
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)
arcsinx=x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)!!表示雙階乘
arccosx=π-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)
sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)
coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)
arcsinhx=x-x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)-1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<1)
在解初等三角函式時，只需記住公式便可輕鬆作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面積等等。
傅立葉級數
傅立葉級數又稱三角級數
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx
an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx
記憶口訣
奇變偶不變，符號看象限其他設A，B，C是三角形的三個內角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
套用
（一）不等式的證明已知A，B，C是三角形的三個內角
求證cotA+cotB+cotC>=√3
cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0
(cotA+cotB+cotC)^2>=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3
所以cotA+cotB+cotC>=√3
