類域論
正文
研究數域上阿貝爾擴張的理論。它的基本思想是用基域的算術性質去刻畫它上面的阿貝爾擴張。設 k是一數域，I是k的一切非零的分式理想構成的乘法群,I也記作l(k)。對於k上的任一阿貝爾擴張K,存在I的一個狹義子群h與K對應,使得k的每個素理想P在K中分裂的充分必要條件是P屬於h。D.希爾伯特於1898年至1899年間作了如下的猜想：設Ck是k的理想類群，於是存在一個惟一的阿貝爾擴張K/k適合下列條件：①K/k的伽羅瓦群G(K/k)≌Ck；②k中每個素理想在K中非分歧；③設k的素理想P在Ck中所代表的類的階為ƒ。則ƒ|hk, hk＝｜Ck｜。令hk=g·ƒ，於是P在K中分解成g個不同的素因子的積，它們對P的公共剩餘次數為ƒ。
希爾伯特就hk=2的情形給出了證明，以他的洞察力對一般情況作了如上的猜想。P.H.富特文格勒於1907年證明了如上的猜想。這個K/k被稱為希爾伯特類域。
在推廣希爾伯特類域的道路上，H.韋伯做了一步重要的準備工作,他在他的著作《代數學教程》第3卷中推廣了理想類群的概念。k的每個素理想P決定一類互相等價的P進賦值，這個等價類稱為k的一個有限素點,仍用P表示。此外,k還有r1個到實數域R的實嵌入σ1,σ2,…,σr1和r2對到複數域C的共軛的復嵌入
決定出k的r1+r2個阿基米德絕對值
如下：
,其中| |表示複數絕對值。由決定的等價類稱為k的無限素點，依次記作
，前r1個稱為實素點,後r2個稱為復素點。用P表示k的全部素點，用P的元素作形式積 
，其中vi≥0,μj≥0,而且只有有限多個vi不為0。M稱為k的一個整除子。所有整除子構成一個乘法么半群,而且是一個高斯半群。
稱為M的有限部分。 每個整除子 M如下定義I(k)的一個模M的束子群：元素α∈k*(k*=k-{0})稱為滿足下列乘法同餘式(*)α呏1(mod×M),是指①將理想(α-1)/M0表成互素整理想的商U/
,要求與M0互素,而且②σi(α)>0對所有μi>0的實素點Pinfin;i。所有滿足(*)的α生成的主理想(α)的集合,記作S
,構成l(k)的一個子群，稱為模M的束子群。當M為單位整除子時，S1=I 即主理想子群。 用I
(k)=I表示I 中由一切與M0互素的整理想生成的子群。於是S嶅I而且I/S的階有限。I的一個子群h 稱為嚴格意義下的理想群,是指存在k的一個整除子M使得S嶅h嶅I。以下說的理想群都是這種嚴格意義下的理想群。設h1和h2為任意兩個理想群,分別由整除子M1和M2所規定:S
嶅hi嶅I,i=1,2。如果(h1)
=h1∩I=h2∩I
=(h2)，那么h1和h2稱為是等價的,記作h1～h2。於是,所有理想群分成一些等價類,包括理想群h的等價類記作(h)。若屬於同一類的理想群h1和h2,分別由M1、M2所規定,則有I/h1≌I/h2。因而每個等價類(h)決定了一個惟一的商群，稱為理想類群。對每個等價類(h )，存在一個整除子F使得(h )包含一個由F規定的理想群，而且若一個由整除子M規定的理想群屬於(h),則F整除M。F由(h)惟一決定，稱為(h)的導子。(I)的導子為1。 高木貞治在1920年發表的文章中，套用H.韋伯的理想類群，成功地推廣了希爾伯特的結果，並且建立了完整的類域論。設K/k為數域k 上一個n 次伽羅瓦群擴張，G為它的伽羅瓦群。k的一個有限素點P稱為在K 中分歧，是指素理想P在K 中分歧；k的一個實素點P∞稱為在K中分歧，是指與P∞對應的k 的實嵌入σ 在K上的每個開拓都是復嵌入。對於任一σ∈G 和K 的任一分式理想U,令
。設B為K的一個素理想，且位於k的素理想P之上,令B對P的剩餘次數為ƒ。則 
/k(B)=Pƒ。令/k(I(k))={/k(U)|U取遍K的非零的分式理想｝。高木貞治得到以下的重要結果： ① 基本定理 設K/k為數域k上一n次阿貝爾擴張，則存在k的一個整除子M,僅含在K內分歧的素點(有限或無限)作為素因子，使得理想群h =
/k(I(K))S在I(k)內的指數為n。 ② 分歧定理 設(h)的導子為F,則K的一個素點P在K內分歧的充分必要條件是P｜F。
③ 同構定理 K/k的伽羅瓦群與I
(k)/h 同構。 ④ 分解定理 設P為k的與F互素的任一素理想;設hF∈(h)為由F 規定的理想群；設ƒ 是最小正整數使得Pƒ∈hF，則P在K 中分解成
個素理想的積。 ⑤ 存在定理 設h 為k的任一理想群，由整除子M所規定，指數(I
(k):h)=n。則存在一個n次阿貝爾擴張K/k使得h=/k(I(K))S。 於是,在k上有限阿貝爾擴張K/k和k的理想群（等價類）之間建立了一個一一對應。K/k 稱為對應於h 的類域，同時h 稱為對應於K/k的類群。(h)的導子稱為K/k的導子。
E.阿廷於1927年證明了著名的一般互反律,設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，G(K/k)為它的伽羅瓦群，O為K 的整數環。設P為k的任一個在K 中不分歧的素理想,Z為P在K 中的一個素因子B的分解群,Z 包含一個對應於B的弗羅貝尼烏斯置換σ 使得 ασ呏α
P (modB)，α∈O,其中N 
表示P的絕對範數。這個σ與B的選取無關，由P惟一決定，因而可記成
，稱為阿廷符號。它還可以推廣如下：設
是k 的任一個非零分式理想，Pi(1≤i≤m)在K中都不分歧，則定義
。 阿廷互反律 設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，δ 為它的判別式, Iδ 的定義如前，則有：① 阿廷映射
是 Iδ到K/k的伽羅瓦群G(K/k)的一個滿同態。② 存在k的一個整除子M，僅以在K 中分歧的素點為它的素因子，使得S嶅Ker(ω)(Ker(ω)表ω的核)，從而Ker(ω)=/k(I(K))S。適合S嶅Ker(ω)的一切整除子M的最大公因子 F就是K/k的導子。 同構定理和分解定理是阿廷互反律的直接推論。
除了存在定理⑤以外，還有一個具有給定的局部性質的有限阿貝爾擴張存在的定理，就是1932年發表的格魯恩瓦爾德定理。王湘浩於1948年發現該定理包含的錯誤，並於1950年給出了正確的更一般的陳述和證明。從此以後人們稱之為格魯恩瓦爾德－王定理。它是著名定理“數域上中心單（結合）代數為循環代數”成立的主要根據之一。
有理數域Q上的分圓域是類域的一個雛形。設K＝Q(ζ)為 m(m>1)分圓域,ζ為一個m 次本原單位根,當m為偶數時,假定4│m。此時K是Q上φ(m)次阿貝爾擴張,它的伽羅瓦群
，K 的每個自同構σ由它在ζ上的作用惟一決定。若 ζσ=ζr，σ可記成 σr，(r, m)=1，Q只有一個無限素點即實素點p∞。在K內分歧的素點恰由m的素因子和p∞組成。設p是任一個與m互素的素數,P為p在K中的一個素因子,ƒ為P對p的剩餘次數。於是NK/Q(P)=pƒ，而且對應於p 的弗羅貝尼烏斯置換是 σp:ζ捚＝ζp。於是
。其次，Q 的每個非零分式理想是一個主理想，而且可由一個正有理數生成,與m互素的分式理想可寫成 
，其中每個素數 pi與m 互素，vi∈Z。於是 
。
。 所以
。這就是有理數域上m分圓域的互反律。 C.謝瓦萊於20世紀30年代末引進了伊代爾 (idele)概念以替代理想概念，從而將有限阿貝爾擴張的阿廷映射推廣到任意（有限或無限）阿貝爾擴張上去。對於數域k的每個素點P，有一個局部域
(局部緊緻拓撲域)，k的乘法群k
是局部緊緻交換群。除有限多個無限素點外,對每個有限素點P, k有一個極大緊子群即k的單位群U。作直積 ∏k，它的元素α可寫作α=(α),α∈k。如果α除去有限多個分量(其中包括全部無限素點上的分量)外，其餘每個分量都是k的單位，那么α稱為一個伊代爾。所有伊代爾集合是∏k的一個子群，記作Jk。Jk顯然是所有這種子群
的並集，其中S 是k的素點集的任一個包含全部無限素點的有限子集。因而，由∏k的乘積拓撲誘導出的Jk的拓撲是局部緊的。若α=(α)的所有分量α=α∈k*，則α顯然是一個伊代爾,稱為主伊代爾。所有主伊代爾構成Jk的一個子群，且與k*同構,仍記作k*。於是商群Ck=Jk/k*，稱為伊代爾類群。 自從H.哈塞利用局部域上的布饒爾群以建立局部類域論以來，人們逐步認識到群的上同調理論和類域論之間的聯繫,經過許多人的努力，套用群的上同調理論,對類域論作了系統處理。首先建立局部類域論，然後由局部類域論組織成整體類域論。設K/k為數域k上任一有限阿貝爾擴張，G為它的伽羅瓦群。對k的每個素點P,取定K的一個素點B使得B|P。K
和 K分別為K和k對B和P的完備化。G表示B的分解群,G就是K/k的伽羅瓦群。根據群的上同調理論，可以直接定義同態 
稱為范剩余符號。這個映射是一個滿同態而且
。這就是局部域上阿貝爾擴張的互反律，稱為局部互反律。然後用范剩餘符號去定義阿廷符號(α,K/k)如下：對k的每個伊代爾α=(α),規定
。映射α
(α,K/k)是伊代爾群Jk到 K/k的伽羅瓦群 G 的一個滿同態，而且
。這就是用伊代爾群表述的阿廷互反律。 這樣，阿廷符號就可以以自然的方式開拓到k的任意阿貝爾擴張上去。 應當指出，數域上的類域論可以平行地推廣到有限常數域上一元代數函式域上去。
阿廷在他與J.T.塔特合寫的類域論(1951～1952)的講稿中提出了類結構的概念，將局部的和整體的、數域的和代數函式域的類域論納入同一個公理化體系中。
參考書目
E.Artin,Algebraic Numbers and Algebraic Func-tions,Gordon and Breach, New York, 1967.
E.Artin and J.Tate,ed.,Class Field Theory,Benjamin, New York, 1967.
A.Weil,basic Number Theory,3rd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1967.
