模函式
解析函式的許多經典理論如整函式理論中的皮卡定理、正規族理論中的一些判定定理,都可藉助模函式的性質來證明。如圖1

模函式w =ƒ(z)單值解析於|z|<1內,顯然不取值0,1,∞,且當z從單位圓內部以任意方式趨於其周界上一點時,不可能有確定的極限值,因此|z|=1是其自然邊界,即它不可能再向|z|=1之外進行解析開拓。
也可用一分式線性變換t=ω(z),|z|<1,把z變到t平面的上半平面,使A,B,C 分別變成實軸的α,b以及с=∞,而D0變成區域墹 0(圖2

設t=ω(z)的反函式為z=λ(t),則
w =ƒ(z)=ƒ(λ(t))=φ(t)
就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也稱為模函式,其性質本質上與ƒ(z)相類似。如果把構成模函式w=ƒ(z)過程中所作的種種關於圓弧的反演變換記為T1,T2,…,則對於任何Tj,ƒ(z)與ƒ(Tjz)互為共軛。因此,對任何兩個Tj,Tk,恆有ƒ(z)=ƒ(TjTkz),即當z經過兩次這類反演後,其函式值ƒ(z)不變。如果把偶數個這種反演及其逆作為元素,它們生成一變換群G,則當z經G任一元變換後,函式值ƒ(z)不變。稱G為模函式w=ƒ(z)的不變群,也稱ƒ(z)為關於群G 的自守函式(見橢圓函式)。