布拉施克的生平
布拉施克於1885年出生在奧地利的格拉茨市。他的早期數學訓練受自於其作
為中學幾何教師的父親。此後,他求教於許多著名的幾何學家,包括維爾丁格(W.
Wirtinger)、施圖迪(E.Study)、比安基(L.Bianchi)、恩格爾(F.Engel)、希爾伯
特(D.Hilbert)和克萊因(F.Klein)。1919年,他被任命為新建的漢堡大學的教授,
並終身留在那裡任職。在他的同事中有馮¢諾依曼(vonNeumann)、西格爾(C.
L.Siegel)、阿廷(E.Artin)、奧斯特洛斯基(A.M.Ostrowski)、拉德馬赫(H.A.
Rademacher)、拉東(J.K.A.radon)、赫克(E.Hecke)、哈塞(H.Hasse)、科拉茨
(Kollatz)、尼爾森(Nielsen)、施賴埃爾(O.Schreier)和施佩納(E.Sperner)。他
的最著名學生是桑塔洛(LuisSantal¶o)和陳省身。
布拉施克的數學工作
布拉施克最著名的工作是在凸幾何、仿射微分幾何和積分幾何領域。
²在凸幾何學中,布拉施克建立了關於凸體序列的一個緊性定理,現在被稱為
\布拉施克選擇定理",並用其證明了一個新的嚴格的凸幾何不等式。它表明了任
何一個包含在一個有界集中的凸集序列必有一個子列,其關於豪斯多夫度量而言
是收斂的。這個結果一直是建立凸體所滿足的嚴格等周型不等式的有用工具。
布拉施克也闡述了現在所謂的布拉施克{桑塔洛不等式,這是關於凸體的一個
基本的仿射幾何不等式。它與機率論和泛函分析,也與數論、偏微分方程和微分幾
何有著深刻的聯繫。對布拉施克{桑塔洛不等式推廣的研究至今仍很活躍。這個不
等式表明,給定了一個質心在原點的凸體K½Rn,並記其極體為K¤,則其體積滿
足不等式V(K)V(K¤)6V(B)2,這裡B是標準的歐氏球體,且等號成立的充要
條件是K為橢球體。布拉施克對n63建立了這個不等式,桑塔洛[15]將其推廣
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28j陳省身與幾何學的發展
到所有維數。
凸幾何學中最重要的長期未解決問題之一是馬勒猜想(Mahlerconjecture),
它聲稱存在著一個逆向的嚴格不等式,並且等號成立的充要條件是凸體為單
形。這個猜想僅在附加假設的情況下得到了證明,對此猜想的研究仍很活躍。
²積分幾何學的工作至少可追溯到克羅夫頓(M.W.Crofton),他證明了與平
面中一條曲線弧相交的直線集合的不變測度是和弧長成正比例的。然而,布拉施
克是第一個將積分幾何視為與微分幾何同等重要的數學家。他帶頭打造該學科的
基礎,他的學生陳省身和桑塔洛則繼續他的工作。
特別地,布拉施克開創了運動學公式的系統研究。運動學公式可如下表述為:
設G1和G2是Rn中的幾何對象(如線性子空間、子流形或子區域)。它們中的每
一個都自然地帶有相應的幾何不變數,如歐拉(Euler)示性數、體積和邊界的體積
等。另一方面,G2的積分不變數可定義為G1的剛性運動與G2的交集的幾何不
變數關於所有的剛體運動的平均。運動學公式表明,後者乃是前者的線性組合。
布拉施克的工作集中於歐氏空間,但是運動學公式可推廣到由變換群所定義
的其他幾何結構中。許多此類的推廣工作已由陳省身、桑塔洛和其他人完成。例
如,可參見桑塔洛的書[16]。陳省身則在諸如文獻[5,6]的工作中,表明了如何把
運動學公式推廣到齊性空間。
²布拉施克也按照克萊因的埃朗根綱領,開創了仿射微分幾何學的研究。在其
關於微分幾何學的系列專著的第二卷[2]中,他對於Rn中的子流形,系統導出了
局部微分幾何不變數,它們在仿射變換下不變,或者具有良好的表現。他最著名的
工作是引進了Rn(n>3)中超曲面的仿射法線的概念。仿射法線是歐氏微分幾何
中高斯映射的仿射類似,它可用來定義仿射球面的概念,也可用來描述蒙日{安培
(Monge-Ampµere)型偏微分方程的解。關於仿射球面的概述可參看洛夫廷(Loftin)
[13]和洛夫廷{王{楊(Loftin-Wang-Yang)[14]。
²布拉施克對黎曼幾何的主要貢獻是其解釋性的著作,並對今後的數學家提
出應該去研究的問題。其最著名的例子是\布拉施克猜想"。
布拉施克引進了\再見曲面"(Wiedersehensurface)的概念:一個閉的二維
黎曼流形M被稱為是\再見的"(Wiedersehen),如果存在d>0,使得對於每點
p2M,存在著另一點q2M,使得每一條從p出發的測地線經過距離d後必能到
達q點。布拉施克於1921年在文獻[3]中猜想,任何再見曲面必為具有常曲率的
黎曼度量的2-球面。陳省身在文獻[7]中描述了這個猜想的早期歷史。這個猜想
被格林(Green)[12]所證明。
\再見曲面"的定義可以毋須改變而推廣到高維的\再見流形"。布拉施克猜
想在高維時是否成立的問題,直到前不久才獲解決。在以貝斯(A.L.Besse)為
作者名(伯傑||MarcelBerger||的一個假名)的著作[1]的附錄D中,伯傑
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威廉¢布拉施克的數學工作及其對陳省身的影響29
利用了卡茲當(J.L.Kazdan)的一個不等式(在文獻[1]的附錄E中)證明了n
維再見流形的體積不能小於半徑r=d
2¼
的標準n維球面的體積。溫斯坦(A.
Weinstein)[17]證明了再見流形M的體積可由M中閉測地線空間上的上同調計
算所給出,並藉此證明了偶數維的布拉施克猜想。楊忠道[19]則對奇數維的情況進
行了上同調計算,從而完成了對布拉施克猜想的證明。
布拉施克對陳省身的影響
陳省身首次遇見布拉施克是在1932年後者訪問北京時,當時陳省身還是一個
年輕的學生。根據陳省身所說[7],布拉施克的\堅信數學是一門生氣勃勃和明白易
懂的學科"對陳省身決定到漢堡大學去學習數學起了重要的作用。陳省身於1934
年來到漢堡,在布拉施克的指導下,於1936年獲得博士學位。陳省身也開始跟隨
凱勒(KÄahler)學習外微分系統和現在所謂的嘉當{凱勒理論。隨後,布拉施克安排
陳省身到巴黎的埃利¢嘉當那裡繼續學習一年。
陳省身能夠運用外微分形式,十分有效地把布拉施克關於微分幾何和積分幾
何的思想推廣到更抽象的框架中去。類似的計算導致了陳省身求管子體積的工作,
並最終使他發現了示性類。
在索菲斯¢李(S.Lie)和龐加萊(J.H.Poincar¶e)早期工作的影響下,布
拉施克和他的學生博爾(Bol)[4]研究了網幾何學。陳省身和格里菲思(P.A.
GRI±ths)[10;11;9]對該課題做了一些工作。詳情可參看如陳省身所寫的綜述文章
布拉施克三維網猜想高懸半個世紀美國人破解了
【星島網訊】美國新澤西理工學院（NJIT）數學系教授歌德堡最近領導一個研究團隊，破解一個近代數學史上高懸半世紀的難題：布拉施克三維網猜想，為“網幾何”領域做出重大貢獻。
德國數學大師布拉施克在1955年提出一個著名的猜想：數學家沒有希望找到方法，將一個“曲線網”映像為一個由不相交直線組成的網。布拉施克是近代幾何學發展史上的重要人物，“網幾何”就是他開創，但他後來因參加納粹而身敗名裂。
歌德堡指出，布拉施克所謂的“沒有希望”是指這個問題不可能以人工計算的方式解決，當時沒有計算機運算協助布拉施克。但歌德堡與以色列本古里昂大學教授阿奇維斯、挪威特浪索大學教授李查金合作，藉先進計算機軟體之助，終於解決這道難題。論文刊登在3月份《幾何分析期刊》。
“網幾何”研究將一系列曲線覆蓋在格狀的橫線與直線形成的“網”，鑽研者並不多，但經濟學家與物理學家——尤其是熱力學——經常援引其研究成果，已故華裔數學大師陳省身也是這個領域的翹楚。
