完全解析函式:完全解析函式（complete analytic func -百科知識中文網

定義

若函式在區域內解析，且區域的邊界上每一點都是它的奇點，則它就不能越過區域的任意一部分邊界解析開拓；若在上有正則點，則此函式就可以越過邊界解析開拓出去。對於開拓後得到的函式及區域，還可以再研究它能否進一步解析開拓，這樣就可以不斷地解析開拓，一直到不能開拓為止。為了刻畫這個事實，需要引進完全解析函式的概念。

設所有標準元素集合由任一元素 P 沿所有若爾當曲線作解析開拓而得到，此曲線起點在元素 P 的圓心，且對此曲線可以作解析開拓，則稱這個標準元素集合為完全解析函式。我們指出，完全解析函式的概念不依賴於初始元素 P 的選擇。實際上，設 Q 是由初始元素 P 確定的完全解析函式的任一其他元素，這表示 Q 是由 P 沿著某條曲線開拓得出的。於是 P 可以由 Q 沿曲線開拓得出。如果兩個完全解析函式至少有一個共同元素，則這兩個函式被認為是相等的。

一個完全解析函式是一個一般解析函式，它包含其任一元素的所有解析開拓，的定義域稱為它的存在區域，的邊界稱為的自然邊界。

相關定理

定理1

定理內容：屬於完全解析函式的諸元素收斂圓的並集構成一個區域。

證明：設 D 是這個並集，它作為諸開集的並集是一個開集，即如果，則是某一元素的收斂圓，且。設 a 與 b 是集 D 的任意兩點，則可求出兩個元素，使得a 與 b 是它們的圓心。這兩個元素是沿某一路線互為解析開拓而得出的，這條路線是連結點 a 與 b 而成的。顯然，因此 D 是連通開集，即一個區域，它稱為完全解析函式的自然定義域或它的存在域。

我們指出，完全解析函式不能是區域 D 內廣義的函式，因為它不是單值的。

定理2

定理內容：完全解析函式含有不多於圓心在一定點處的可數多個不同元素。

證明：設完全解析函式由圓心在點 a 處的初始元素確定，z 是完全解析函式定義域 D 中的任意一點。設是完全解析函式的一個元素，圓心在點 z 處，它可由元素用圓心在點的有限元素鏈得出，其中每後一個元素都是前一元素的直接解析開拓。不是一般性，可以設諸點有有理坐標。實際上，首先設圓心是任意的。在點的任意小的領域內取一個帶有理坐標的點，並用元素代替，根據沿路線解析開拓關於路線同倫形變的不變性定理，在充分小時，按新鏈開拓的結果和按舊鏈開拓的結果相同。具有元素有理圓心的元素直接解析開拓集合是可數的，恰好與元素的可數集一樣。給定與點 z 就唯一地確定了元素，因此不同元素的個數不超過可數集。