可導誤區
在當時，由於函式的表示手段有限，而僅僅從初等函式或從分段初等函式表示的角度出發去考慮，這個猜想是正確的。
但是隨著級數理論的發展，函式表示的手段擴展了，數學家可以通過函式項級數來表示更廣泛的函式類。
介紹
Weierstrass（即卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯）是一位研究級數理論的大師，他於1872年利用函式項級數繼波爾察諾之後 構造出了一個處處連續而處處不可導的函式，為上述猜測做了一個否定的終結（公式如下）
處處連續處處不可導函式Weierstrass的反例構造出來後，在數學界引起極大的震動，因為對於這類函式，傳統的數學方法已無能為力，這使得經典數學陷入又一次危機。但是反過來危機的產生又促使數學家們去思索新的方法對這類函式進行研究，從而促成了一門新的學科 “分形幾何”的產生。所謂“分形”，就是指幾何上的一種“形”，它的局部與整體按某種方式具有 相似性。“形”的這種性質又稱為“ 自相似性”。
理論運用
我們知道，經典幾何學研究的對象是規則而光滑的幾何圖形，但是自然界存在著許多不規則不光滑的幾何圖形，它們都具有上面所述的“ 自相似性”。如雲彩的邊界；山峰的輪廓；奇形怪狀的海岸線；蜿蜒曲折的河流；材料的無規則裂縫，等等。這些變化無窮的曲線，雖然處處連續，但可能處處不可導。
因此“分形幾何”自產生起，就得到了數學家們普遍的關注，很快就發展為一門有著廣泛套用前景的新的學科。
