分類
複合函式與其導函式C'=0(C為常數)
(x^n)'=nx^(n-1)(n∈R)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(e^x)'=e^x
(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1)
[logax)]'=1/（x·lna）(a>0且a≠1且x>0)
[lnx]'=1/x
和差積商函式的導函式
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)^2]
複合函式的導函式
設y=u(t)，t=v(x)，則y'(x)=u'(t)v'(x)=u'[v(x)]v'(x)
例：y=t^2，t=sinx，則y'(x)=2t*cosx=2sinx*cosx=sin2x
一般定義
導函式也可記作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。
若將一點擴展成函式f(x)在其定義域包含的某開區間I內每一個點，那么函式f(x)在開區間內可導，這時對於內每一個確定的值，都對應著f(x)的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函式，這個函式稱作原函式f(x)的導函式，記作：y'或者f′(x)。
函式f(x)在它的每一個可導點x。處都對應著一個唯一確定的數值——導數值f′(x)，這個對應關係給出了一個定義在f(x)全體可導點的集合上的新函式，稱為函式f(x)的導函式，記為f′(x)。
導函式的定義表達式為：
值得注意的是，導數是一個數，是指函式f(x)在點x0處導函式的函式值。但通常也可以說導函式為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。
幾何意義
1.代表函式上某一點在該點處切線的斜率。
如右圖所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向於點P0時，並且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。
若曲線為一函式y=f(x)的圖像，那么割線PP0的斜率為：
當P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時，此時，，則P0T的斜率tanα為：
上式與一般定義中的導數定義是完全相同，則f'(x0)=tanα，故導數的幾何意義即曲線y=f(x)在點P0(x0,f(x0))處切線的斜率。
條件
如果一個函式的定義域為全體實數，即函式在上都有定義，那么該函式是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函式在定義域中一點可導需要一定的條件是：函式在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在它的左右極限存在且相等）推導而來。例如：f(x)=|x|在x=0處雖連續，但不可導（左導數-1，右導數1）
上式中，後兩個式子可以定義為函式在x0處的左右導數：
左導數：
右導數：
單調性
一般地，設函式y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間y'>0，那么函式y=f(x)在這個區間上為增函式：如果在這個區間y'<0，那么函式y=f(x)在這個區間上為減函式；如果在這個區間y'=0，那么函式y=f(x)在這個區間上為常數函式。導數極值
導函式在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變數的值，極值指的是函式值。請注意以下幾點：
1．極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函式值與它附近點的函式值比較是最大或最小，並不意味著它在函式的整個的定義域內最大或最小。
2．函式的極值不是唯一的。即一個函式在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。
3．極大值與極小值之間無確定的大小關係。即一個函式的極大值未必大於極小值。
4．函式的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點。而使函式取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。
5．在函式取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有f'(x)=0。但反過來不一定。如函式y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點的函式值既不比它附近的點的函式值大，也不比它附近的點的函式值小。 若x0滿足=0，且在x0的兩側f(x)的導數異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是極值，並且如果在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值；如果在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值。
6.極值與最值得區別：極值是在局部對函式進行比較，最值是在整體區間上對函式值進行比較。
