柏拉圖體

柏拉圖體即為正多面體。如果一個多面體的所有面都是全等正多邊形，所有多面角也全等，我們就說它是正多面體或柏拉圖體。有無限多種正多邊形，而正多面體只有五種。正多面體根據面的數目來命名，也就是：4個正三角形的正4面體；6個正方形的正6面體（立方體）；8個正三角形的正8面體；12個正五邊形的正12面體；20個正三角形的正20面體。

基本信息

• 中文名稱：柏拉圖體
• 外文名：The Platonic Solids
• 別稱：正多面體
• 套用學科：幾何學

• 證明方式：5種

種類

The Platonic Solids (柏拉圖立體/正多面體 )

有無限多種正多邊形，而正多面體只有五種。正多面體根據面的數目來命名，也就是：
4個正三角形的正4面體；
6個正方形的正6面體（立方體）；
8個正三角形的正8面體；
12個正五邊形的正12面體；
20個正三角形的正20面體。

發展史

The Platonic Solids (柏拉圖立體/正多面體 )

正多面體發源史已消失在過去的煙雲里。歐幾里德《原本》第八卷才開始用數學的眼光看它們。第一卷的第一個注釋指出，本卷“將處理所謂的柏拉圖體，那名稱實在是錯了。因為其中的三種，正4面體，立方體，正12面體來自畢達格拉斯學派，而正8面體和正20面體來自泰阿泰德（Theaeteus）。”事實也許真是這樣。
不管怎么說，柏拉圖描繪了5種正多面體。他在《蒂邁歐篇》里講了如何拿正三角形，正方形和正五邊形來構造正多面體的面。柏拉圖的蒂邁歐（Timaeus），就是畢達格拉斯門下的洛克里的蒂邁歐。柏拉圖大概在訪問義大利時見過他。在柏拉圖的作品裡，蒂邁歐神秘地將4種易構造的多面體：正4面體，正6面體，正8面體，正20面體，配給恩培多克勒（Empedocles）的一切物質的四種基本“元素”：火氣水土。剩下的正20面體，就特意拿它來聯繫包圍我們的宇宙。

特性

1、內接於同一個球的正12面體的體積大於正20面體的體積，立方體的體積大於正八面體的體積。
2、內接於同一個球的正12面體和正20面體具有這共同的內接球，立方體和正八面體也有共同的內接球。
3、如果正12面體，正20面體和立方體內接於同一個球，那么正12面體的體積與正20面體的體積之比，等於立方體邊長與正20面體的邊長之比。
4、如果正12面體與正20面體內接於同一個球，那么二者體積之比等於表面積之比。
5、內接於同一個球的正12面體和正20面體具有相等的表面周長。

證明

柏拉圖體展開圖

頂點數V，面數F，棱數E
設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條棱。棱數E應是面數F與n的積的一半（每兩面共用一條棱），即
nF=2E--------------①
同時，E應是頂點數V與m的積的一半，即
mV=2E--------------②
由①、②，得
F=2E/n,V=2E/m,
代入歐拉公式V+F-E=2，
有2E/m+2E/n-E=2
整理後，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由於E是正整數，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2--------------③
說明m,n不能同時大於3，否則③不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的棱數與多　邊形的邊數）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以有以下幾種情況：

n	m	類型
3	3	正四面體
4	3	正六面體
3	4	正八面體
5	3	正十二面體
3	5	正二十面體

由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體，所以正多面體只有5種。