射影幾何最終確立
射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。由於迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。
1822年，彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應並用它來確立對偶原理。稍後，施泰納研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進的。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系，進而使交比也不依賴於長度概念。由於忽視了連續公理的必要性，他建立坐標系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。
另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，於是從代數觀點就自然得到了對偶原理，並得到了關於一般線素曲線的一些概念。
在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免藉助於代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。
射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關係，特別是“群”的概念產生以後，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。
把各種幾何和變換群相聯繫的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得十分明朗。這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。後來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。
射影幾何學的內容
概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關係的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。
在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。歐式直線再加上一個無窮點就是射影幾何中的直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交於這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。
在引入無窮遠點和無窮遠直線後，原來普通點和普通直線的結合關係依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。
由於經過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。
射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平麵點之間的射影對應。
在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關於點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。
這就是射影幾何學所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間裡，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。
研究在射影變換下二次曲線的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內容。
如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學< 仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學裡可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學裡不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學裡也不能討論圖形的度量性質。
1872年，德國數學家F•克萊因(Felix Klein)在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計畫書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學裡，主要研究在相應的變換下的不變數和不變性。
三角形的射影定理
射影射影就是正投影，從一點到過頂點垂直於底邊的垂足，叫做這點在這條直線上的正投影。一條線段的兩個端點在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理
公式，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：
（1）（BD）^2;=AD·DC，
（2）（AB）^2;=AD·AC，
（3）（BC）^2;=CD·AC。
（4）ABXBC=BDXAC(可用面積來證明）
直角三角形射影定理證明
一、在△BAD與△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴AD/BD＝BD/CD，即（BD）²=AD·DC。其餘類似可證。(也可以用勾股定理證明)
註：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;。
這就是勾股定理的結論。
二、已知:三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股證射影:因為AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.運用此結論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.綜上所述得到射影定理
同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。
任意三角形射影定理
設⊿ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
註：以“a＝b·cosC＋c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
任意三角形射影定理證明
證明1：設點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可證其餘。證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可證其它的。
