![平方根[數學符號]](/img/2/85a/nBnauM3X4YTN3kDN2EjMwgTO5MTM1QzN0ITNyQTNwAzMwIzLxIzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg "平方根[數學符號]")
概述
平方根，又叫二次方根，對於非負實數來說，是指某個自乘結果等於的實數，表示為(√x)，其中屬於非負實數的平方根稱算術平方根。有時我們說的平方根指算術平方根。正整數的平方根通常是無理數。
知識講解
平方根一．知識結構
二．教學重點與難點分析
本節重點是平方根和算術平方根的概念．平方根是開方運算基礎，是引入無理數的準備知識．平方根概念的正確理解有助於符號表示的理解，是正確求平方根運算的前提，而且直接影響到二次根式的學習. 算術根的教學不但是本章教學的重點，也是今後數學學習的重點．在後面學習的根式運算中，歸根結底是算術根的運算，非算術根也要轉化為算術根．本節難點是平方根與算術平方根的區別於聯繫．首先這兩個概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學生不是很容易區分，教學中要抓住算術平方根式平方根中正的那個，講清各自符號的意義，區分兩種表示的不同.對於平方根運算不僅數有限制，而且結果有兩個，這是與以前學過的數的運算很大的區別，要讓學生真正理解有一定的困難.
三．教法建議
1.有特殊到一般歸納總結，平方根是平方的逆運算，得出平方根的概念後，讓學生觀察具體數的平方關係，分析特點歸納總結出平方根的一般規律，有利於學生理解知識的來源，了解數學的歸納思想．2.開方與平方互為逆，與其他運算相比較對數有些條件限制，是學生從整體認識開放運算．平方根和算術平方根的區別與聯繫，由於是本節的難點，在講清平方根的基礎上，對比講解算術平方根，列出兩者概念、性質、運算、符號等間的區別，各知識點間的類比學生易於記憶．
3.本節主要內容是平方根和算術平方根，注意數字要簡單，關鍵讓學生理解概念．另外在文字敘述時注意語言的嚴謹規範．
10.2
一．知識結構：
二．教學重點難點分析：
教學重點是用計算器求一個正數的平方根的程式.無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一．
教學難點準確用計算器求一個正數的平方根.由於開平方運算要用到第二功能鍵，學生生容易漏掉此步操作，在教學過程中要著重說明此鍵的作用功能．
三．教法建議：
在給學生講解如何利用計算器求一個數的平方根時，講解速度慢些首先要學生找到鍵操作後，再講解下一步．尤其要強調第二功能鍵的作用功能，在求解時使學生了解第二功能鍵的必要性．另外課堂上多讓要學生親自動手實踐，熟悉各鍵的功能及求解的步驟．
開平方公式：
X（n+1）=Xn+（A/Xn-Xn）1/2.。（n，n+1是下角標）
舉例
例如，A=5：
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取中間值2.5。
第一步：2.5+（5/2.5-2.5）1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+（-0.25）=2.25，取2位數2.2。
第二步：2.2+（5/2.2-2.2）1/2=2.23；
即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位數。
第三步：2.23+（5/2.23-2.23）1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525，2.2421525-2.23=0.0121525，0.0121525×1/2=0.00607，2.23+0.00607=2.236.
每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。
例如A=200.
200介如10的平方---20的平方之間。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我們取15.
第一步：15+（200/15-15）1/2=14。取19也一樣得出14.。：19+（200/19-19）1/2=14.。
第二步：14+（200/14-14）1/2=14.1。
第三步：14.1+（200/14.1-14.1）1/2=14.14.
這個方法的依據是根據牛頓切線法得來。也可以通過牛頓二項式定理推出。
A=（X±Y）^k=展開，把A即（X±Y）^k展開後代入公式就得到推導過程。X是假想值，Y是誤差值。
X（n+1）=Xn-（X^k-A）/kX^（k-1）=Xn-f（X）/f'（x）=Xn+（A/X^（k-1）-Xn）1
（f（x）=X^K-A;f'（X）=KX^（k-1）；王曉明王蕊珂編寫
求平方根教學重點難點分析：
教學重點是用計算器求一個正數的平方根的程式。無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一。教學難點準確用計算器求一個正數的平方根。由於開平方運算要用到第二功能鍵，學生容易漏掉此步操作，在教學過程中要著重說明此鍵的作用功能教法建議：
在給學生講解如何利用計算器求一個數的平方時，應掌握方法。
【性質與概念】
平方根的基礎信息
一個正數如果有平方根，那么必定有兩個，它們互為相反數。顯然，如果我們知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據相反數的概念得到它的另一個平方根。如果一個正數x的平方等於a，即x²=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數。
規定：0的平方根是0。
負數在實數範圍內不能開平方，只有在複數範圍內，才可以開平方根。例如：-1的平方根為±1i，-9的平方根為±3i。
平方根包含了算術平方根，算術平方根是平方根中的一種。
任何複數都有平方根。
算術平方根為：√a=a(a為非負數)
被開方數是乘方運算里的冪。
求平方根可通過逆運算平方來求。
開平方：求一個非負數a的平方根的運算叫做開平方，其中a叫做被開方數。
若x的平方等於a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x(a為非負數)
性質
與平方根的關係正數的平方根有兩個，它們為相反數，其中正數的平方根，就是這個數的算術平方根。
產生
根號(即算術平方根)的產生源於正方形的對角線長度“根號二”，這個“根號二”的發現一度引起了畢達哥拉斯學派的恐慌。因為按當時的權威解釋(也就是畢達哥拉斯學派的學說)，萬物皆數(也就是說世界上所有的事物都可以用數來表示)。對於這個無理數“根號二”，最終人們選取了用根號來表示。
求平方根算法
算法1
用Ruby求平方根。（註：sqrt=squareroot平方根）moduleMyMath
defsqrt（num,rx=1,e=1e-10）#參數1，需要求平方根的目標；參數2，疊代區間；參數3，精度
num*=1.0#目標初始化
（num-rx*rx）。abs<e?rx:sqrt（num,（num/rx+rx）/2,e）#計算平方根
end
end
includeMyMath
putssqrt（2）#求2的平方根
putssqrt（2,5,0.01）#求2的平方根+疊代區間與精度。
C語言版求平方根
doubleSqrt（doublea,doublep）//a是被開平方根數，p是所求精度
{doublex=1.0;doublecheak;
do{x=（a/x+x）/2.0;cheak=x*x-a;}while（cheak<-p||cheak>p）;returnx;}intmain（intargc,char*argv[]）
{printf（"%.4f\n",Sqrt（2.0,0.0001））;//有時輸出精度要比所求精度少一位，即%.3f
printf（"%.4f\n",Sqrt（0.09,0.0001））;
return0;}
輸出結果：
1.4142
0.3000
平方數表
1²=12²=43²=94²=165²=256²=367²=498²=649²=8110²=10011²=12112²=14413²=16914²=19615²=22516²=25617²=28918²=32419²=36120²=40021²=44122²=48423²=52924²=57625²=62526²=67627²=72928²=78429²=84130²=900算法2
首先從小數點往前往後每兩位分成一節舉個例子：計算√10
3.16227--------
-----------------------------
√10’00’00’00’00’--------
3|93第1位3
-------
61|1002*3*10+1=61第2位1
|61
-------
626|39002*31*10+6=626第3位6
|3756
--------
6322|144002*316*10+2=6322第4位2
|12644
---------
63242|175600
|126484
-----------
632447|4911600
|4427129
---------
××××××00（如此循環下去）
所以，√10=3.16227…
再如√7
=2.645…
---------------------
2|7
4
--------------
46|300
276
--------------------
524|2400
2096
-----------------------------
5285|30400
26425
-------------------------------
5290？|397500
算法3
上述筆算開方方法是我們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。我們可以採取下面辦法，實際計算中不怕某一步算錯！而上面方法就不行。比如136161這個數字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這裡選350，作為代表。
我們先計算0.5（350+136161/350），結果為369.5。
然後我們再計算0.5（369.5+136161/369.5）得到369.0003，我們發現369.5和369.0003相差無幾，並且，369²末尾數字為1。我們有理由斷定369²=136161。
一般來說，能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算√469225。首先我們發現600²<469225<700²,我們可以挑選650作為第一次計算的數。即算0.5（650+469225/650）得到685.9。而685附近只有685²末尾數字是5，因此685²=469225。從而√469225=685。
對於那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達到小數點後好幾位。
實際中這種算法也是計算機用於開方的算法。
