作圖方法
即做三角形三條邊的垂直平分線(兩條也可，兩線相交確定一點）
以線段為例，可以看作是三角形一邊。分別以兩個端點為圓心適當長度（相等）為半徑做圓（只畫出與線段相交的弧即可），再分別以兩交點為圓心，等長為半徑（保證兩圓相交）做圓，過最後的兩個圓的兩個交點做直線，這條直線垂直且平分這條線段即線段的垂直平分線。
例題分析
外接圓例1 如圖1-125，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，從而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂線定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交線為AC作BD⊥AC於D點，據面面垂直性質定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA於E，連BE，據三垂線定理，則BE⊥PA，從而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
設PC=a，依題意知三角形ABC是邊長為a的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC=45°∴ 在Rt△DEA
評註 本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角後，再用解三角形的方法來求解．
例2 在60°二面角M－a－N內有一點P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求點P到直線a的距離．(圖1－126)
外接圓分析 設PA、PB分別為點P到平面M、N的距離，過PA、PB作平面α，分別交M、N於AQ、BQ．
同理，有PB⊥a，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB於Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a，BQ⊥a．
∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．
∴ ∠AQB=60°
連PQ，則PQ是P到a的距離，在平面圖形PAQB中，有
∠PAQ=∠PBQ=90°
∴ P、A、Q、B四點共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R
在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，由余弦定理得
AB2=1+4-2×1×2cos120°=7
由正弦定理：
評註 本例題中，通過作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
例3 如圖1-127過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
分析 二面角B－PC－D的棱為PC，所以找平面角作棱的垂線，而平面PAB和平面PCD所成二面角“無棱”須找二面角的棱．
外接圓解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂線定理)
在平面PBC內，作BE⊥PC，E為垂足，連結DE，得PC⊥平面BED，從而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA=AB=a
∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB
∴ BC⊥PB(三垂線定理)
在Rt△PBC中，
在△BDE中，根據餘弦定理，得
∴ ∠BED=120°
即二面角B－PC－D的大小為120°．
(2)過P作PQ ∥AB，則PQ
平面PAB，
∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ
平面PCD
∴ 平面PAB∩平面PCD於PQ
∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴ CD⊥PD(三垂線定理的逆定理)
∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．
∵ PA=AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角為45°.
評註 在求無棱二面角的大小時有時須作出稜線後再找平面角．
外接圓半徑是三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離
內切圓半徑是三角形三個角的角平分線的交點到三角邊的距離.
外接圓半徑:公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R就是外接圓半徑) 本題可以這樣：①．先利用餘弦定理：a^2=b^2+c^2－2bc·cosA 求出：cosA=(b²+c^2－a^2)/2bc 在利用公式：sinA^2+cosA^2=1確定 sinA=根號(1－cosA^2) =根號[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc) 然後代入 a/sinA=2R求出R． R=abc/根號[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]
直角三角形外接圓半徑=二分之一×斜邊
內切圓半徑:r=2S/(a+b+c)，其中S是三角形面積，a、b、c是三角形三邊。
海倫公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2
