庫利奇大上定理
九點圓（又稱歐拉圓、費爾巴哈圓），在平面幾何中，對任何三角形，九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。而九點圓還具有以下性質：
九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。
歷史
1765年，萊昂哈德·歐拉證明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。”許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出“九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切”，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇－大上定理“圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。”這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。
九點圓證明
如圖：D、E、F為三邊的中點，G、H、I為垂足，J、K、L為和頂點到垂心的三條線段的中點。
容易得出、（SAS相似） 因此 同樣可得出、（SAS相似） 因此 又，可得出四邊形DFJL是矩形（四點共圓） 同理可證FKLE也是矩形（DKFJEL共圓） ，因此可知G也在圓上（圓周角相等） 同理可證H、I兩點也在圓上（九點共圓）
性質證明
九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
在直角坐標系中，我們知道圓的方程式為(x − x0) + (y − y0) = r，其中r為圓的半徑，(x0,y0)為圓的圓心坐標。若做圓上一點與點(xS,yS)的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為： 設r為外接圓的半徑、(x0,y0)為外接圓的圓心坐標、點(xS,yS)為垂心坐標。 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。 同時還可以得出下面的性質： 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
主條目：費爾巴哈定理
圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。
複數方法證明
把原來的圓周看做複平面內的單位圓，設四個三角形的九點圓圓心為z1，z2，z3，z4，則有∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=∣z4∣=1。
則，△z2z3z4的九點圓圓心可表示為1/2（z2+z3+z4），
△z3z4z1的九點圓圓心可表示為1/2（z3+z4+z1），
△z4z1z2的九點圓圓心可表示為1/2（z4+z1+z2），
△z1z2z3的九點圓圓心可表示為1/2（z1+z2+z3），
如果考察一下用1/2（z1+z2+z3+z4）表示的點，那么可以看出，從該點到上述四點的距離分別是∣1/2（z1+z2+z3+z4）-1/2（z2+z3+z4)∣=∣1/2z1∣=1/2
......
其他的同理，也為1/2，因此四點共圓。
