證明
![定理證明示意圖](/img/c/a49/nBnauM3X3EzM3MTMxQjM1IzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
以下簡述切線長定理的證明。
欲證AC = AB,只需證△ABO≌ △ACO。
如圖,OC、OB為圓的兩條半徑,又∠ABO = ∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴AB=AC,且∠AOB=∠AOC,且∠OAB=∠OAC。∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO(H.L)
推論
切線長定理推論:
圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等;
從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
推導過程
觀察、猜想、證明,形成定理
![例題](/img/c/11b/nBnauM3XzgzNzcTMxQjM1IzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
2、觀察 利用電腦變動點P 的位置,觀察圖形的特徵和各量之間的關係.
3、猜想 引導學生直觀判斷,猜想圖中PA是否等於PB.PA=PB.
4、證明猜想,形成定理.猜想是否正確。需要證明.組織學生分析證明方法.關鍵是作出輔助線OA,OB,要證明PA=PB。
想一想:根據圖形,你還可以得到什麼結論?∠OPA=∠OPB(如圖)等
由此,引導學生推出切線長定理。
5、歸納: 把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質
切線的性質:
(1)切線和圓只有一個公共點;
(2)切線和圓心的距離等於圓的半徑;
(3)切線垂直於經過切點的半徑;
(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點;
(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心;
6、切線長定理的基本圖形研究
例如這道:如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,A,B為切點.直線OP交⊙O於點D,E,交AB於C
(1)寫出圖中所有的垂直關係;(2)寫出圖中所有的全等三角形;(3)寫出圖中所有的相似三角形;(4)寫出圖中所有的等腰三角形。
說明:對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵,它是靈活套用知識的基礎。
鑽石形推廣
如右圖,AB、AC與⊙O相切,連線BC,設BC與AO交於點H。
![切線長定理](/img/e/869/nBnauM3XyMTN2AjMxQjM1IzN0QTMwADMwADMwADMwATMxAzL0IzLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
求證:AO⊥BC
∵AB、AC與⊙O相切
∴∠ABO=∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO
AO=AO
∴RtΔABO≌RtΔACO(HL)
∴∠AOB=∠AOC
在△BOH和△COH
∠AOB=∠AOC
BO=CO
OH=OH
∴△BOH≌△COH(S.A.S)
∴∠BHO=∠CHO
∵∠BHO+∠CHO=180°
∴∠CHO=∠BHO=90°
∴BC⊥AO。
(或更簡單,∵RtΔABO≌RtΔACO(HL),易得RtΔABO與RtΔACO關於AO軸對稱。由軸對稱的性質:對稱軸垂直平分連線對應點的線段可得,BC⊥AO。)