分類
等腰直角三角形
1、定義
有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。
2、關係
等腰直角三角形的邊角之間的關係 ：
⑴三角形三內角和等於180°。
⑵三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。
⑶三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
⑷三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
⑸在同一個三角形內，等邊對等角，等角對等邊。
3.四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。
⑴三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。
⑵三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。
⑶三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的兩倍。
⑷三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。
⑸三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。
（6）三角形斜邊上的高等於斜邊的一半。
備註：
①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .
②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點）。
④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。
黃金三角形
1.名稱定義
所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值。對應的還有黃金矩形等。
2.黃金三角形的分類
黃金三角形分兩種：
一種是等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°；這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：（√5-1)/2。
另一種也是等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：（√5-1)/2。
3.黃金三角形的特徵
黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°，它的腰與它的底成黃金比。當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，並形成兩個較小的等腰三角形。這兩三角形之一相似於原三角形，而另一三角形可用於產生螺鏇形曲線。
黃金三角形的一個幾何特徵是：它是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。
把五個黃金三角形稱為“小三角形”，拼成的相似黃金三角形稱為“大三角形”。則命題可以理解為：五個小三角形能夠不重疊又不超出地充滿大三角形。要滿足這種填充，必要條件之一是大三角形的每條邊都可以由若干條小三角形的邊相加而成。
根據定義，第一種黃金三角形是腰與底的比值為（√5+1)/2的等腰三角形，頂角為36°，底角為72°。
設小三角形的底為a，則腰為b=（√5+1)a/2，因為大三角形的面積為小三角形的5倍，則大三角形的邊長
為小三角形對應邊長的√5倍，即大三角形的底為A=√5 a，腰為B=√5 *（√5+1)a/2=（√5+5)a/2。
大三角形的腰B與小三角形邊的關係滿足：B=2a+b。
而大三角形的底A與小三角形邊的關係可列舉如下：
2ab
可見大三角形底邊的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超地來填充。故命題錯。
另外一種黃金三角形是腰與底的比值為（√5-1)/2的等腰三角形，頂角為108°，底角為36°。
設小三角形的底為a，則腰為b=（√5-1)a/2。
同樣可以證明：
A=2b+a
2b<3b
a
可見大三角形腰的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超出地填充（圖2）。故命題錯。
事實上，勾為a，股為b=2a的；直角三角形可以滿足命題要求。
顯然，弦c=√a2+b2 =√5 a。
三角形的對應邊：
A=√5 a=c，
B=2A=2c，
C=√5 *（√5a)=5a=2b+a 。
滿足上述必要條件。是否成立還要驗證，結果是對的。本三角形是否唯一滿足命題還不清楚。
頂角36°的黃金三角形按任意一底角的角平分線分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個的2倍。頂角是108°的黃金三角形把頂角一個72°和一個36°的角，這條分線也把黃金三角形分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角也是另一個的2倍。
等邊三角形
定義
所謂的等邊三角形，是三邊都相等的等腰三角形。
2.性質
⑴每個角都為60°，三角形三內角和等於180°。
⑵三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。
⑶三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
⑷三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
⑸在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。
複數性質
A，B，C三點的複數構成正三角形 等價於 A+wB+w2C=0 。
其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) ；1+w+w2=0。
相關公式
等邊三角形與圓的有關計算公式
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot（π/3)=1/2 a tan（π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc（π/3)=1/2 a sec（π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na²cot（π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²；表示內切圓面積，
SR=πR²=1/3πa²；表示外接圓面積。
例：試證等邊三角形的高和其邊長的比為 √（3/4）：1
證明：
作等邊三角形的一條高，將等邊三角形分為兩個全等的直角三角形，
設這個等邊三角形的邊長為a，則其中一個直角三角形一條直角邊長為1/2a，斜邊為a（即該等邊三角形.由勾股定理，（直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方），得另一條直角邊（即該等邊三角形的高）為 √a^2-(1/2a)^2 = √（3/4a) ，即證.
由上，可推導出等邊三角形的面積公式：
S=1/2ah= (1/2)a×[√（3/4a)]=[（√3)/4]×a^2
舉例證明
有關問題的證明
已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，
求證：當三角形的周長最短時，三角形是等邊三角形。
證明：AC=a-AB
根據餘弦定理
BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA
BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以當AB=a/2時，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
這時，周長為AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以當周長最短時的三角形是正三角形。
