定義
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濾子: 設 是X的非空子集族,滿足:
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(1) ;
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(2)若 .則 ;
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(3)若 ,則 。
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則稱 為一個 濾子(filter)。
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濾子基: 設 為X的非空子集族,若它滿足
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;
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若 ,則存在 使得 ;
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則稱 為X的一個 濾子基。
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例1 設 是一個點網, ,令
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則 是一個濾子基。事實上,對於任意兩個 ,由於D是定向集,故存在一個,使得 ,容易看出, 。同時,每個 顯然非空,因此 是一個濾子基,這裡的集合 通常稱為由 確定的終止集,而 則稱為由 確定的濾子基。
相關概念
定義1
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若 為X的濾子基,則容易看出 是一個濾子,稱之為由 生成的濾子,而 也稱為 的濾子基。
定義2
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設 為拓撲空間X的一個濾子, .如果 ,都有 ,則稱x為 的 聚點。濾子 的聚點全體構成的集合記作adh 。如果對於 ,則稱x為 的極限,此時也稱 在X中收斂於x, 在X中的全體極限構成的集合記作lim 。
定義3
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設 拓撲空間X的兩個濾子,若 ,則稱 比 小(粗,或弱),也稱 比 大(細,或強)。
相關定理
定理1
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
設 和 是空間X的兩個濾子基,則

(1) 是一個濾子基;

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(2)如果每個 ,則 是一個濾子基;

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(3)對每個有限子集族 ,存在一個 使得
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特別地,一個濾子基的有限個元素的交都是非空的。
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例2 (1)設A是拓撲空間X的一個非空集合,則 顯然是一個濾子基。如果 ,則 在X中收斂於a,如果 ,則每個 都是 的 聚點。
(2)不難驗證,拓撲空間X中點z的鄰域系N(x)是一個濾子,稱為 鄰域濾子,它當然收斂於x,同時也以x作為聚點。
定理2
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設 為拓撲空間X的一個濾子,則 。
定理3
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設 拓撲空間X的一個濾子,則 。

這一點從 的定義即可看出。
定理4

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如果 為Hausdorff空間X的一個收斂濾子,則 是單點集,且有關係式

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
例2 考慮Sierpinski空間 是一個濾子,且不難驗證, 既收斂於0,也收斂於1。
下面這個定理建立了點網和濾子之間的關係。
定理5
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(1)設 為拓撲空間X的一個濾子,則存在X中的點網 使得

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
(2)設 是X中的任一點網,則存在X的一個濾子 使得

這個定理表明,在描述收斂性方面,點網與濾子有著相同的作用,但是,對於一個給定的情形,往往其中一種描述會優於另一種描述,或者說,其中一種描述會比另一種描述更為方便。
由定理5,容易得到下面兩個定理,其證明較為簡單。
定理6
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設 為拓撲空間X的一個濾子,則 中有一個 更粗的濾子 收斂於x。
定理7

拓撲空間X是Hausdorff空間 X中的收斂濾子只有一個極限。
由定理5和定理1容易得到下面的定理。
定理8

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拓撲空間X是緊空間 X中的任一濾子 ,都有 。