幾何測度論

幾何測度論，高維空間中低維點集的測度及低維點集上的積分理論。

幾何測度論

20世紀初測度論的建立，使得人們對Rn中的子集關於n維勒貝格測度μn的行為有了很好的了解。大部分函式論由於勒貝格積分論而產生了巨大變化。但是在處理與Rn中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。例如著名的普拉托問題，在二維曲面時尚可以結合共形變換和狄利克雷原理巧妙地套用勒貝格方法而解決。而在曲面的維數超出2時,這些經典的方法就失敗了。幾何測度論正是在這種背景下產生。它始於1914年C.卡拉西奧多里關於測度論的基礎性工作，經過幾十年的發展，熔合了來自分析、幾何、代數拓撲中的許多技巧，產生了許多新的概念，成為數學研究的一個有力工具。
豪斯多夫測度與可求積集合　在卡拉西奧多里的工作出現以後的開始20～30年內，大部分的興趣在於了解Rn中的子集關於m 維豪斯多夫測度, 積分幾何測度等各類測度的行為。對於A嶅Rn,0≤k<∞,δ>0,定義A的k維豪斯多夫測度（簡稱hk測度）為

，

式中。hk測度是Rn中的一個博雷爾正則測度。又定義inf{k:hk(A)=0}為A的豪斯多夫維數,簡稱h 維數。當k=n時，hn(A)=μn(A)，n=0時h0(A)為A的元素個數。0和n中間每個數均可出現為Rn中某個子集的h 維數。例如康托爾集的h 維數為ln2/LN3。
設A的hk測度有限, 在k>0時,若存在Rk中某個有界子集到 A的李普希茨映射（即二點距離的增長比受到某個正常數控制的映射）,那就稱A為k可求積集（k=0時為有限集，也稱可求積集）。如果A除了一個hk測度為0的子集外,為可列個k可求積集合覆蓋,就稱A為(hk,k)可求積集。集合的可求積性質是一階光滑流形的某種推廣。事實上,A為(hk,k)可求積集合的充要條件是：除了一個hk測度為0的子集外,它可由Rn中可列個C1類k維子流形所覆蓋。可求積集合的這種描述使得對於它的構造的研究，特別是它的射影性質的研究成為幾何測度論的重要內容。在A不含有hk測度大於0的k可求積子集時,稱A為純粹(hk,k)不可求積集合。
設p:Rn→Rk為正交射影,即保持內積不變的線性映射。其共軛記為p*,它的全體記為(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通過右乘可遞地作用在(n, k)上。這個運算在(n,k)上誘導出惟一的不變測度θ*,使得空間(n,k)關於θ*的全測度等於1，那么當A為(hk,k)可求積集合時，成立

式中。上式右邊即為A的積分幾何測度I，它先在A與n-k維仿射子空間p-1(y)的交集上積分，然後讓p取遍所有正交射影。因此這個式子反應了 (hk，k)可求積集合的射影性質。這是求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣，也類似於柯西尋求凸體周界面積的方法。另一方面, 對於hk測度有限的任何博雷爾集B，總存在博雷爾子集C嶅B,使得，,且(B\C為純粹(hk,k)不可求積。進一步,成立,若且唯若B為(hk,k)可求積。以上這些結果首先為A.S.貝斯爾科里奇對平面上的h1測度得到。1947年，H.費德雷爾證明了一般情形。
在幾何測度論發展早期就知道，對於Rn中每個勒貝格可測集W以及Rn到Rk的李普希茨映射ƒ，有面積公式

，

式中Jkƒ(x)為ƒ的雅可比式。在ƒ為一一時，右邊的積分就等於hk(ƒ(W)),因此對於n可求積集合,它的hn測度就等於微分幾何中的 n維體積。利用映射在一點“近似可微”這個概念, 可以將這個公式推廣到Rn中的(hk,k)可求積集合。但在ƒ(W )的h 維數小於n時，公式反映的信息很少。1957年，費德雷爾證明：對每個李普希茨映射,及每個μn可測集W 成立余面積公式：

。

面積公式與余面積公式分別套用於目標空間的維數至少為n與至多為n的情形。因此可將它們看成是對偶的公式，余面積公式也已被推廣到(hk,k)可求積集合的情形。這些公式的研究使得人們了解到，關於可微映射的積分變換的本質上的假定在於對這個映射的雅可比式秩的限制。
密度　密度與近似切錐是描述一個測度局部行為的兩個重要概念。對於拉東測度v，以α為心,r為半徑的球關於v的測度與的比值，在r→0時的上極限與下極限分別稱為測度v在α點的k維上密度與k維下密度。二者相等時就稱為k維密度 k(v,α)。利用上密度可以定義集合的近似切錐，它何時成為向量空間與該集合的可求積性質和射影性質有著深刻的聯繫。利用密度定義的另一個重要概念是集合在一點的外法線。當集合有光滑邊界時，這個概念非常直觀，在一般情形相當複雜。
給定點集Q，如下定義新的測度у墯Q:集合G關於у墯Q 的測度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一點b的外法線是如下確定的一個單位向量u=n(A，b),當Q1為過b點且以u為法向的超平面圍成的半空間(x-b)·u>0時，,Q2為另一半空間(x-b)·u<0時,。這個概念只含有點集A關於μn的測度論行為，而不用預先知道A的拓撲結構,甚至邊界的概念也未提到。這樣可塑的概念使高斯-格林公式推廣到相當一般的程度:設集合A嶅Rn,令,。如果對每個緊集,那么對Rn上有緊集的每個李普希茨一階向量場ξ，成立

。

另一方面，若以BdryA記A的普通邊界，那么在對Rn的每個緊集K，都有時,上述條件滿足，從而推廣的高斯-格林公式也成立。
整流　長期以來，人們就尋求著n維空間中“k維積分區域”的分析與拓撲的描述。這個概念應該保留微分流形的光滑性與整係數多面體鏈的組合性質所帶來的好處，同時為滿足變分的需要，這類區域應具有某種緊緻性質。“整流”正是為這樣的需要而產生。
設U 為Rn中的開集，以m(U)記緊支集落在U內的m 階光滑微分形式全體。m(U)上的線性泛函稱為m維流,其全體記為m(U)。流S ∈m(U)的支集sptS理解為U內的最小相對緊子集C, 使得對一切滿足 sptφCU\C的 φ∈m(U ), 有S(φ)=0。流這個概念是由法國數學家G.-W.德·拉姆為研究霍奇理論而引入的。由於一個曲面決定於對定義在它上面的任意 m階光滑微分形式的積分運算。因此m 維幾何曲面可以分析地表示成一個流。特別地,由點α0,α1,…,αm生成的單純形若落在Ｕ內,那么它也代表一個流。這種流的整係數線性組合，稱為Ｕ中的一個整係數多面體鏈。如果一個流可以用整係數多面體鏈關於李普希茨映射的像來逼近，就稱它為可求積流。利用邊緣運算元д可以構成新的流дS,定義為дS(φ)=S(dφ)。這裡d為外微分運算，如果S與дS均為可求積流,就稱S為整流。例如每個一維整流是總長度小於∞的有限多條單弧與可數條單閉弧的和。Rn 中的每個n維整流可表示成,其中e1,e2,…,en為Rn的切空間的標準基，A為使得推廣的高斯-格林公式成立的勒貝格可測集。當1<m<n時，Rn中的m維整流是相當複雜的。但重要的是，由緊支集在同一有界集內且按某個範數有界的整流組成的集是緊的。正是這一點形成了變分學中新的幾何方法。
如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求積流,就稱S為整平坦鏈。利用邊緣運算元可以建立這類流的同調理論。它與局部李普希茨範疇內的、整係數的經典奇異同調論同構。但對於積分問題，相交理論等，這種鏈群明顯地優於奇異鏈群。因為與奇異鏈不一樣，一條平坦鏈與其分刈等同,這就簡化了循環的構造,並得到較好的實係數上循環。不僅如此，還發現所謂的等周不等式不僅對經典的微分幾何中某些特殊情形成立，而且對這種同調論有類似估計，這就將代數拓撲與測度論聯繫起來了。
可以用流的理論來研究普拉托問題，存在性定理表明極小曲面總是一個m維局部可求積流，即這樣的流S∈m(U),對每個x∈U，總存在緊支集在U內的可求積流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性問題就是sptS的光滑性問題。若α∈sptS存在領域V嶅Rn,使V∩sptS為C2類m維子流形,就稱α為正則點，否則就稱奇點。由於幾何測度論的發展,使高維普拉托問題取得重大進展。當m ≤6時極小曲面是光滑的,在m≥7時奇點集的h 維數不超過m-7。
類似於局部可求積流，可以定義局部整流，局部整平坦流。後者與流形上分析中的實解析子簇與復解析子簇有十分密切的關係。
弱可微函式　又稱有界變差函式。Rn上光滑函式的可微性可以用這樣的方法來刻畫：對於Rn上有緊支集的李普希茨向量場ξ，成立
，但是右邊的積分並不一定要求ƒ光滑,僅要求ƒ局部μn可積。因此ξ(x)的這個線性泛函可以看成 ƒ 的測度論意義下的弱微分，只要它滿足里斯表示定理的有界性假定。這種ƒ 稱作弱可微函式。開集上的弱可微函式全體記為BV(),則BV()按範數形成巴拿赫空間。弱可微函式曾在各種場合下出現，首先在勒貝格面積論，而後在偏微分方程論中，特別地，它是極小曲面的理論中的有力工具。
參考書目
　H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.
　E.Giusti,MiniMal Surfaces and Functions of Bounded variation,Birkh user, Basel-Stuttgart, 1984.
　H.Whitney,Geometric Integration Theory,PrincetonUniv. Press, Princeton, 1957.

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