關於極限
在點集拓撲學中也有與極限相似的概念,叫做極限點。從字面上看,極限點是極限就要到達的那一點。有時所說極限是數列或函式的極限,是變動的數的極限,極限過程是變數。有時所說極限是點列或映象的極限,是變動的點的極限,極限過程是動點。
度量空間點列
定義1
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設 是度量空間 的無限點列,a是常數,不管給定的正數 多么小,總存在N>0,當 , ,則稱a是無限點列 的一個極限點。
定義2
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設 是度量空間 的無限點列,a是 的一個極限點。則稱無限點列 收斂於a或極限為a,記為 。
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例1 無限恆常數列 的極限點或極限均是x。
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例2設 是離散拓撲空問, ,任意x∈X, 是含x的開球,若要點列 收斂於x,則含x的開球必須包含 幾乎所有的項,之後的項均為X,從而 。
註記1:度量空間點列的極限點或極限是唯一的,但在非度量拓撲空間中,極限點或極限就不一定唯一。請看例3。
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例3設 是平凡拓撲空間,任意點x∈X,若 是X中的點列,則因為 中只有一個非空集X,所以包含x的球只有X,從而點列 收斂於X的任一點x。
極限點的定義
定義3
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設 是拓撲空間,,若對每個 中的集合B,s∈B,有
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則稱s是A的一個極限點。
註記2:定義3是在非度量拓撲空間中極限點的定義,它比定義1和定義2更廣泛,一般不具唯一性。
定理1
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設X是非空集, 是平凡拓撲.即 ,則以下3個結論成立:
(1)若A是空集,則A無極限點;
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(2)若A是單點集,其元素為 ,則只要 ,x都是A的極限點;
(3)若A至少有2個元素,則A中每一點都是A的極限點。
雙核拓撲會計
在雙核拓撲會計空間中所有的點都不是極限點,原因是以下定理。
定理2
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設 是離散拓撲空間, 。則 不可能是任何 的極限點。
定理3
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雙核拓撲會計空間資產核 中,若 ,則所有資產核綱目都不存在極限點。
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證明 是X的所有子集的系,即 ,由定理2,任何 不可能是任何綱目 的極限點。
定理4
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雙核拓撲會計空間權益核 中,若 ,則所有權益核綱目都不存在極限點。
證明 同定理3的證明。
註記3:雙核拓撲會計空間Z沒有極限點,是因為我們為雙核會計空間選用了離散拓撲結構,由定理2.任何在單點集 中的點x都不可能是任何Z中的子集的極限點。
註記4:若我們為雙核會計空間選用平凡拓撲結構,則由定理1,空間每一點都是至少有兩個元素的集合的極限點,但是平凡拓撲結構太粗,不適合雙核會計空間。