證明過程
證明：因為函式 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1. 若 M=m，則函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函式，結論顯然成立。
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
幾何意義
若連續曲線y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直於 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行於 x 軸。
幾種特殊情況
（1）有界開區間上的有界函式
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理若函式 在區間 上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。
（2）有界區間上的無界函式
羅爾中值定理 羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理若函式 在區間 上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。
（3）無界區間上的有界函式
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理若函式 在區間 上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。
（4）無界區間上的無界函式
羅爾中值定理 羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理若函式 在區間 上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。
（5）半無界區間上的有界函式
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理若函式 在區間[ )上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。
（6）半無界區間上的無界函式
羅爾中值定理 羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理若函式 在區間[ )上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。
證明
這裡僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其餘證明的思路大致類似。
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理定理 若函式 在區間 上連續且可導，並有 。則至少存在一個 ，使得 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理證明：至少可取到一點 ，使 ，否則 恆等於 ，對於任意的實數 ，都有 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理不妨設 ，取 ，顯然 。根據極限定義，由 可得
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理，當 時，有 ， ， ，
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理任取 ，則有 ， 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理利用 ，類似地可知存在 ，使 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理於是， 在閉區間 上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點 ，由於閉區間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知 ，根據費馬定理可知 。
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理定理 若函式 在區間 上連續且可導，並有 。則至少存在一個 ，使得 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理證明： 任取 ，因為 ，所以至少存在一點 ，使 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理類似地由 可知存在一點 ，使 。
羅爾中值定理
羅爾中值定理 羅爾中值定理這就有了 且 ，
羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理 羅爾中值定理於是， 在閉區間 上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點 ，由於閉區間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知 ，根據費馬定理可知 。
範例解析
用羅爾中值定理證明：方程
羅爾中值定理3在 (0,1) 內有實根。
羅爾中值定理證明： 設
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理
羅爾中值定理則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 內可導，，所以由羅爾中值定理，至少存在一點，使得，所以，所以ξ是方程在 (0,1) 內的一個實根。
結論得證。
