rolle定理

rolle定理

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,其中羅爾定理是拉格朗日定理等的預備定理,由三個已知條件推得結果,三個已知條件缺一不可,即若要使用羅爾定理則需要滿足條件:f(x)在[a,b]內連續,在(a,b)內可導,且f(a)=f(b)。

定理內容

如果函式f(x)滿足如下條件:

(1)f(x)在閉區間[a ,b]上連續;

(2)f(x)在開區間(a,b) 內可導;

(3)f(x)在區間端點的函式值相等,即f(a)=f(b) ,

那么在(a,b) 內至少有一點ξ (a<ξ<b),使得函式f(x) 在該點的導數等於零,即f'(ξ)=0。

幾何意義

在每一點都可導的一段連續曲線上,如果曲線的兩端高度相等,則至少存在一條水平切線。(圖形如下所示)

幾何意義圖 幾何意義圖

證明過程

因為函式 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續,所以存在最大值與最小值,分別用 M 和 m 表示,分兩種情況討論:

(1)若 M=m,則函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函式,結論顯然成立。

(2)若 M>m,則因為 f(a)=f(b) ,使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得,從而ξ是f(x)的極值點,又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得,f(x) 在 ξ 處取得極值,由費馬引理推知:f'(ξ)=0。

注意:rolle定理中的三個條件缺少任何一個,結論將不一定成立。

簡單套用

典例1

設f(x)為R上可導函式,證明:若函式f'(x)=0沒有實根,則方程f(x)=0至多只有一個實根。

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證明:(反證法)倘若f(x)=0有兩個實根,則函式f在上滿足羅爾定理三個條件,從而存在,使得f'(ξ)=0,這與f'(x)≠0矛盾,故假設不成立,原命題成立。

典例2

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用羅爾中值定理證明:方程在(0,1)內有實根。

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證明:設

則 F(x) 在 [0,1] 上連續,在 (0,1) 內可導,且F(0)=F(1)。

rolle定理 rolle定理

故由羅爾中值定理,至少存在一點ξ使得F'(ξ)=0;

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故有,即ξ是方程在(0,1)內的實根。命題得證。

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