微積分
在微積分中， 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。
1.文字敘述
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理 拉格朗日定理
拉格朗日定理如果函式 滿足：1) 在閉區間 上連續；2) 在開區間 內可導；那么在 內至少有一點 ，使等式
拉格朗日定理成立。
2.邏輯語言的敘述
拉格朗日定理若函式 滿足：
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理則
拉格朗日定理
圖1.拉格朗日中值定理的幾何意義3.證明
拉格朗日定理令 ，那么
拉格朗日定理 拉格朗日定理1） 在 上連續，
拉格朗日定理 拉格朗日定理2） 在 上可微（導），
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理3 ，由羅爾定理，存在一點 ，使得 。即 。
數論
1.內容
四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 說明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。
2.歷史
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理1. 1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：。根據上述歐拉恆等式或四元數的概念可知如果正整數 和 能表示為4個整數的平方和，則其乘積 也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理2. 1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數 ，同餘方程 必有一組整數解 滿足 ， （引理一）。
至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。
群論
拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的約數值。
1.定理內容
拉格朗日定理
拉格朗日定理 拉格朗日定理敘述：設H是有限群 的子群，則 的階整除 的階。
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拉格朗日定理定理的證明是運用 在 中的左陪集。 在 中的每個左陪集都是一個等價類。將 作左陪集分解，由於每個等價類的元素個數都相等，都等於 的元素個數（ 是 關於 的左陪集），因此 的階（元素個數）整除 的階，商是 在 中的左陪集個數，叫做 對 的指數，記作 。
陪集的等價關係
拉格朗日定理
拉格朗日定理定義二元關係 ： 。下面證明它是一個等價關係。
拉格朗日定理1) 自反性： ；
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理2) 對稱性： ，因此 ，因此 ；
拉格朗日定理
拉格朗日定理
拉格朗日定理3) 傳遞性： ，因此 ，因此 。
拉格朗日定理 拉格朗日定理可以證明， 。因此左陪集是由等價關係 確定的等價類。
拉格朗日定理 拉格朗日定理 拉格朗日定理 拉格朗日定理拉格朗日定理說明，如果商群 存在，那么它的階等於 對 的指數 。
拉格朗日定理2.推論
拉格朗日定理
拉格朗日定理 拉格朗日定理 拉格朗日定理由拉格朗日定理可立即得到：由有限群 中一個元素 的階數整除群 的階（考慮由 生成的循環群）。
3.逆命題
拉格朗日定理 拉格朗日定理
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拉格朗日定理 拉格朗日定理拉格朗日定理的逆命題並不成立。給定一個有限群 和一個整除 的階的整數 ， 並不一定有階數為 的子群。最簡單的例子是4次交替群 ，它的階是12，但對於12的因數6， 沒有6階的子群。對於這樣的子群的存在性，柯西定理和西洛定理給出了一個部分的回答。
