定義
數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時,都有|am-an|<ε成立。>地位
“柯西收斂原理”是數學分析中的一個重要定理之一,這一原理的提出為研究數列極限和函式極限提供了新的思路和方法。方法
![柯西收斂準則](/img/2/48f/nBnauM3X3ATNwETNxgTM2QDN0QTMxYDNwMzMxADMwAzMxAzL4EzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定理敘述:
數列{xn}有極限的充要條件是:對任意給定的ε>0,有一正整數N,當m,n>N時,有|xn-xm|<ε成立 >
將柯西收斂原理推廣到函式極限中則有:
函式f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是:對任意給定的ε>0,有Z屬於實數,當x,y>Z時,有|f(x)-f(y)|<ε成立 >
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂,數項級數是否收斂的判別中,有較大的適用範圍。
證明舉例
證明:xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限證:對於任意的m,n屬於正整數,m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂,即{xn}存在極限