柯西收斂準則

柯西收斂準則

柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理,給出了數列收斂的充分必要條件。數列Xn收斂的充分必要條件是:該數列中足夠靠後的任意兩項都無限接近。

基本信息

定義

數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時,都有|am-an|<ε成立。>

地位

“柯西收斂原理”是數學分析中的一個重要定理之一,這一原理的提出為研究數列極限和函式極限提供了新的思路和方法。

方法

柯西收斂準則柯西收斂準則
在有了極限的定義之後,為了判斷具體某一數列或函式是否有極限,人們必須不斷地對極限存在的充分條件和必要條件進行探討。在經過了許多數學家的不斷努力之後,終於由法國數學家柯西(Cauchy)獲得了完善的結果。下面我們將以定理的形式來敘述它,這個定理稱為“柯西收斂原理”。
定理敘述:
數列{xn}有極限充要條件是:對任意給定的ε>0,有一正整數N,當m,n>N時,有|xn-xm|<ε成立 >
將柯西收斂原理推廣到函式極限中則有:
函式f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是:對任意給定的ε>0,有Z屬於實數,當x,y>Z時,有|f(x)-f(y)|<ε成立 >
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂,數項級數是否收斂的判別中,有較大的適用範圍。

證明舉例

證明:xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證:對於任意的m,n屬於正整數,m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂,即{xn}存在極限

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