這裡 n r是單位法向量,使 t(s)到 n r(s)的有向角為 /2。 k r(s)稱為相對曲率, k r>0和 k r0,稱為貝特朗曲線。這樣的曲線可與另一條曲線建立一一對應關係,使在對應點的主法線重合。反之,這個性質也是曲線成為貝特朗曲線的充分條件。這樣的C和中的每一條都稱為另一條的侶線。兩條貝特朗侶線在其對應點的切線作固定角。漸縮線與漸伸線
自然就稱為 C的全撓率。球面上閉曲線的全撓率等於零,反之,如果非平面的曲面上任意閉曲線的全撓率都等於零,那么這曲面為球面或其一部分。 設 C為平面正則閉曲線,則當點繞 C一周時,曲線 C的切線像 t(s)將在單位圓周上繞若干圈,這個圈數 i r(以逆時針向環繞時圈數為正,順時針向時為負)稱為 C的旋轉指標,可算得
,
這裡 k r(s)是 C的相對曲率。切線 迴轉定理表明:平面簡單正則閉曲線的旋轉指標 i r等於±1。 將平面上一條定長的細繩首尾相接而構成一條簡單閉曲線,它把平面分成以其為 公共邊界的二個部分,它所圍成的區域的面積為最大時,其形狀是圓周。有如下更精確的結論:設曲線 C是長度為 L的平面正則簡單閉曲線, A是 C所圍區域的面積,那么 L 2 -4 A≥0,並且等號若且唯若 C是圓周時成立。上述不等式有過種種的推廣,這類問題叫做等周問題。對於平面曲線,與空間曲線論基本定理相仿,它的形態由其相對曲率 k r(s)所確定,故 k r(s)的極值自然是令人感興趣的。相對曲率 k r(s)的逗留點,即 的點稱為曲線的頂點,對於凸閉曲線,即位於其上每一點的切線的一側的曲線,成立著名的四頂點定理:平面凸閉曲線至少有四個頂點,因為橢圓只有四個頂點,所以這個結論不能再改進。此外,還可以利用柯西-克羅夫頓公式來計算平面正則曲線的長度(見 積分幾何學)。