自然法
利用點的運動軌跡建立弧坐標及自然軸系,並用它們來描述和分析點的運動的方法稱為 自然法。
弧坐標
設動點 M的軌跡為如圖1所示的曲線,則動點 M在軌跡上的位置可以這樣確定:在軌跡上任選一點 O為參考點,並設點 O的某一側為正向,動點 M在軌跡上的位置由弧長確定,視弧長 s為代數量,稱它為動點 M在軌跡上的弧坐標。當動點在 M運動時, s隨時間變化,它是時間的單值連續函式,即
s=f(t) (1-1)
上式稱為點沿軌跡的運動方程,或以弧坐標表示的點的運動方程。如果已知點的運動方程式(1-1),可以確定任一瞬時點的弧坐標s的值,也就確定了該瞬時動點在軌跡上的位置。
自然軸系
在點的運動軌跡曲線上取極為接近的兩點 M和 M,其間的弧長為△ s,這兩點的切線的單位矢量分別是 τ和 τ,其指向與弧坐標正向一致,如圖2所示。將 τ平移至點 M,則此平面趨近於某一極限位置,此極限平面稱為曲線在點 M的 密切面。過點 M並與切線垂直的平面稱為 法平面,法平面與密切面的交線稱為 主法線。令主法線的單位矢量為 n,指向曲線內凹一側。過點 M且垂直於切線及主法線的直線稱 副法線(次法線),其單位矢量 b,指向與 τ, n構成右手系,即
b= τ× n
以點M為原點,以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的 自然坐標系,這三個軸稱為 自然軸。注意,隨著點M在軌跡上運動, τ, n, b的方向也在不斷變動;自然坐標系是沿曲線而變動的遊動坐標系。